Calcolo Esempi

$y = \sin (x)$ , $y = x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\sin (x) = x$

Passaggio 1.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $\frac{π}{2}$ e $π$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - (\sin (x)) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $\sin (x)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x - \sin (x) d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Passaggio 3.4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Passaggio 3.6

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Passaggio 3.7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 3.7.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.7.1.1

Calcola $\frac{1}{2} x^{2}$ per $π$ e per $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{1}{2} π^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Passaggio 3.7.1.2

Calcola $- \cos (x)$ per $π$ e per $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} π^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Passaggio 3.7.1.3

$\frac{1}{2}$ e $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Passaggio 3.7.2

Semplifica.

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Passaggio 3.7.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - (- \cos (π) + 0)$

Passaggio 3.7.2.2

Somma $- \cos (π)$ e $0$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} - - \cos (π)$

Passaggio 3.7.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 \cos (π)$

Passaggio 3.7.2.4

Moltiplica $\cos (π)$ per $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \cos (π)$

Passaggio 3.7.3

Semplifica.

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Passaggio 3.7.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + \cos (π)$

Passaggio 3.7.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4} + \cos (π)$

Passaggio 3.7.3.3

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{4}$ .

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Passaggio 3.7.3.3.1

Moltiplica $\frac{π^{2}}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2} + \cos (π)$

Passaggio 3.7.3.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.7.3.4

Per scrivere $\frac{π^{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.7.3.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.7.3.5.1

Moltiplica $\frac{π^{2}}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.7.3.5.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.7.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.7.3.7

Sottrai $π^{2}$ da $π^{2} \cdot 4$ .

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Passaggio 3.7.3.7.1

Riordina $π^{2}$ e $4$ .

$\frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.7.3.7.2

Sottrai $π^{2}$ da $4 \cdot π^{2}$ .

$\frac{3 \cdot π^{2}}{8} + \cos (π)$

$\frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Passaggio 3.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.8.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{3 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Passaggio 3.8.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 π^{2}}{8} - 1$

Passaggio 4