Calcolo Esempi

$5 x + y^{2} = 11$ , $x = 2 y$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $2 y$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ in $5 x + y^{2} = 11$ con $2 y$ .

$5 (2 y) + y^{2} = 11$

$x = 2 y$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 y + y^{2} = 11$

$x = 2 y$

$10 y + y^{2} = 11$

$x = 2 y$

$10 y + y^{2} = 11$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2

Risolvi per $y$ in $10 y + y^{2} = 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 y + y^{2} - 11 = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Sia $u = y$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $u$ .

$10 u + u^{2} - 11 = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $10 u + u^{2} - 11$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 11$ e la cui somma è $10$ .

$- 1, 11$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.2.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 1) (u + 11) = 0$

$x = 2 y$

$(u - 1) (u + 11) = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$(y - 1) (y + 11) = 0$

$x = 2 y$

$(y - 1) (y + 11) = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 1 = 0$

$y + 11 = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.4

Imposta $y - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $y - 1$ uguale a $0$ .

$y - 1 = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 1$

$x = 2 y$

$y = 1$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.5

Imposta $y + 11$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $y + 11$ uguale a $0$ .

$y + 11 = 0$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 11$

$x = 2 y$

$y = - 11$

$x = 2 y$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(y - 1) (y + 11) = 0$ vera.

$y = 1, - 11$

$x = 2 y$

$y = 1, - 11$

$x = 2 y$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 2 y$ con $1$ .

$x = 2 (1)$

$y = 1$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $- 11$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ in $x = 2 y$ con $- 11$ .

$x = 2 (- 11)$

$y = - 11$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 11$ .

$x = - 22$

$y = - 11$

$x = - 22$

$y = - 11$

$x = - 22$

$y = - 11$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(2, 1)$

$(- 22, - 11)$

$(2, 1)$

$(- 22, - 11)$

Passaggio 2

Risolvi $5 x + y^{2} = 11$ in termini di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 11 - y^{2}$

Passaggio 2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 11 - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 11 - y^{2}$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{11}{5} + \frac{- y^{2}}{5}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{11}{5} + \frac{- y^{2}}{5}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{11}{5} + \frac{- y^{2}}{5}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = \frac{11}{5} - \frac{y^{2}}{5}$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 11}^{1} \frac{11}{5} - \frac{y^{2}}{5} d y - \int_{- 11}^{1} 2 y d y$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 11$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 11}^{1} \frac{11}{5} - \frac{y^{2}}{5} - (2 y) d y$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int_{- 11}^{1} \frac{11}{5} - \frac{y^{2}}{5} - 2 y d y$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 11}^{1} \frac{11}{5} d y + \int_{- 11}^{1} - \frac{y^{2}}{5} d y + \int_{- 11}^{1} - 2 y d y$

Passaggio 4.4

Applica la regola costante.

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} + \int_{- 11}^{1} - \frac{y^{2}}{5} d y + \int_{- 11}^{1} - 2 y d y$

Passaggio 4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - \int_{- 11}^{1} \frac{y^{2}}{5} d y + \int_{- 11}^{1} - 2 y d y$

Passaggio 4.6

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - (\frac{1}{5} \int_{- 11}^{1} y^{2} d y) + \int_{- 11}^{1} - 2 y d y$

Passaggio 4.7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - \frac{1}{5} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 11}^{1} + \int_{- 11}^{1} - 2 y d y$

Passaggio 4.8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - \frac{1}{5} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 11}^{1} - 2 \int_{- 11}^{1} y d y$

Passaggio 4.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - \frac{1}{5} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 11}^{1} - 2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 11}^{1})$

Passaggio 4.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{11}{5} y]_{- 11}^{1} - \frac{1}{5} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 11}^{1} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 11}^{1})$

Passaggio 4.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.1

Calcola $\frac{11}{5} y$ per $1$ e per $- 11$ .

$(\frac{11}{5} \cdot 1) - \frac{11}{5} \cdot - 11 - \frac{1}{5} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 11}^{1} - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 11}^{1})$

Passaggio 4.10.2.2

Calcola $\frac{1}{3} y^{3}$ per $1$ e per $- 11$ .

$\frac{11}{5} \cdot 1 - \frac{11}{5} \cdot - 11 - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 11}^{1})$

Passaggio 4.10.2.3

Calcola $\frac{y^{2}}{2}$ per $1$ e per $- 11$ .

$\frac{11}{5} \cdot 1 - \frac{11}{5} \cdot - 11 - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.1

Moltiplica $\frac{11}{5}$ per $1$ .

$\frac{11}{5} - \frac{11}{5} \cdot - 11 - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.2

Moltiplica $- 11$ per $- 1$ .

$\frac{11}{5} + 11 (\frac{11}{5}) - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.3

$11$ e $\frac{11}{5}$ .

$\frac{11}{5} + \frac{11 \cdot 11}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.4

Moltiplica $11$ per $11$ .

$\frac{11}{5} + \frac{121}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{11 + 121}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.6

Somma $11$ e $121$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.8

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 11)}^{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.9

Eleva $- 11$ alla potenza di $3$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1331) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.10

Moltiplica $- 1331$ per $- 1$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + 1331 (\frac{1}{3})) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.11

$1331$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{3} + \frac{1331}{3}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1 + 1331}{3} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.13

Somma $1$ e $1331$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1332}{3} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.14

Elimina il fattore comune di $1332$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.14.1

Scomponi $3$ da $1332$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3 \cdot 444}{3} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.14.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3 \cdot 444}{3 (1)} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3 \cdot 444}{3 \cdot 1} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{444}{1} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.14.2.4

Dividi $444$ per $1$ .

$\frac{132}{5} - \frac{1}{5} \cdot 444 - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.15

Moltiplica $444$ per $- 1$ .

$\frac{132}{5} - 444 (\frac{1}{5}) - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.16

$- 444$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{132}{5} + \frac{- 444}{5} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{132}{5} - \frac{444}{5} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{132 - 444}{5} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.19

Sottrai $444$ da $132$ .

$\frac{- 312}{5} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{312}{5} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.21

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{312}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 11)}^{2}}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.22

Eleva $- 11$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{312}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{121}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.23

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{312}{5} - 2 \frac{1 - 121}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.24

Sottrai $121$ da $1$ .

$- \frac{312}{5} - 2 (\frac{- 120}{2})$

Passaggio 4.10.2.4.25

Elimina il fattore comune di $- 120$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.25.1

Scomponi $2$ da $- 120$ .

$- \frac{312}{5} - 2 \frac{2 \cdot - 60}{2}$

Passaggio 4.10.2.4.25.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.25.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{312}{5} - 2 \frac{2 \cdot - 60}{2 (1)}$

Passaggio 4.10.2.4.25.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{312}{5} - 2 \frac{2 \cdot - 60}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.10.2.4.25.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{312}{5} - 2 (\frac{- 60}{1})$

Passaggio 4.10.2.4.25.2.4

Dividi $- 60$ per $1$ .

$- \frac{312}{5} - 2 \cdot - 60$

Passaggio 4.10.2.4.26

Moltiplica $- 2$ per $- 60$ .

$- \frac{312}{5} + 120$

Passaggio 4.10.2.4.27

Per scrivere $120$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{312}{5} + 120 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 4.10.2.4.28

$120$ e $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{312}{5} + \frac{120 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.10.2.4.29

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 312 + 120 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.10.2.4.30

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.10.2.4.30.1

Moltiplica $120$ per $5$ .

$\frac{- 312 + 600}{5}$

Passaggio 4.10.2.4.30.2

Somma $- 312$ e $600$ .

$\frac{288}{5}$

Passaggio 5