Calcolo Esempi

$y = x^{2} + 3$ ; $y = 6 x - 6$ ; $- 1 \leq x \leq 2$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} + 3 = 6 x - 6$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} + 3 = 6 x - 6$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $6 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 3 - 6 x = - 6$

Passaggio 1.2.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 3 - 6 x + 6 = 0$

Passaggio 1.2.3

Somma $3$ e $6$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 1.2.4.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Passaggio 1.2.4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 1.2.5

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 1.2.6

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $3$ .

$y = 6 (3) - 6$

Passaggio 1.3.2

Semplifica $6 (3) - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$y = 18 - 6$

Passaggio 1.3.2.2

Sottrai $6$ da $18$ .

$y = 12$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(3, 12)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 d x - \int_{- 1}^{2} 6 x - 6 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - (6 x - 6) d x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 3 - (6 x) - - 6$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$x^{2} + 3 - 6 x - - 6$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$x^{2} + 3 - 6 x + 6$

$\int_{- 1}^{2} x^{2} + 3 - 6 x + 6 d x$

Passaggio 3.3

Somma $3$ e $6$ .

$\int_{- 1}^{2} x^{2} - 6 x + 9 d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 6 x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Passaggio 3.6

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Passaggio 3.7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Passaggio 3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 9 d x$

Passaggio 3.9

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 9 x]_{- 1}^{2}$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ e $9 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 9 x]_{- 1}^{2} - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Passaggio 3.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3} + 9 x$ per $2$ e per $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2})$

Passaggio 3.10.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $2$ e per $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.2

$\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} + 9 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.3

Moltiplica $9$ per $2$ .

$\frac{8}{3} + 18 - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.4

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.5

$18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 + 18 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.7.1

Moltiplica $18$ per $3$ .

$\frac{8 + 54}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.7.2

Somma $8$ e $54$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.9

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (\frac{- 1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + 9 \cdot - 1) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.11

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.12

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.13

$- 9$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{62}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 9 \cdot 3}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.15.1

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 1 - 27}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.15.2

Sottrai $27$ da $- 1$ .

$\frac{62}{3} - \frac{- 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{62}{3} - - \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.17

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{62}{3} + 1 (\frac{28}{3}) - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.18

Moltiplica $\frac{28}{3}$ per $1$ .

$\frac{62}{3} + \frac{28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{62 + 28}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.20

Somma $62$ e $28$ .

$\frac{90}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.21

Elimina il fattore comune di $90$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.21.1

Scomponi $3$ da $90$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.21.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.21.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 30}{3 (1)} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.21.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 30}{3 \cdot 1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.21.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{30}{1} - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.21.2.4

Dividi $30$ per $1$ .

$30 - 6 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.22

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$30 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.23

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.23.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.23.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.23.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.23.2.2

Elimina il fattore comune.

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.23.2.3

Riscrivi l'espressione.

$30 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.23.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$30 - 6 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.24

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$30 - 6 (2 - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.25

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.26

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$30 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.27

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$30 - 6 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.28

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.28.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$30 - 6 \frac{4 - 1}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.28.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$30 - 6 (\frac{3}{2})$

Passaggio 3.10.2.3.29

$- 6$ e $\frac{3}{2}$ .

$30 + \frac{- 6 \cdot 3}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.30

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$30 + \frac{- 18}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.31

Elimina il fattore comune di $- 18$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.31.1

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2}$

Passaggio 3.10.2.3.31.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.3.31.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 (1)}$

Passaggio 3.10.2.3.31.2.2

Elimina il fattore comune.

$30 + \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.10.2.3.31.2.3

Riscrivi l'espressione.

$30 + \frac{- 9}{1}$

Passaggio 3.10.2.3.31.2.4

Dividi $- 9$ per $1$ .

$30 - 9$

Passaggio 3.10.2.3.32

Sottrai $9$ da $30$ .

$21$

Passaggio 4