Calcolo Esempi

$y = - x^{2} + 9$ ; $0 \leq x \leq 5$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$- x^{2} + 9 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $- x^{2} + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 9$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 9$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $- 9$ per $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Passaggio 1.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 1.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 1.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 1.3

Sostituisci $3$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(3, 0)$

$(- 3, 0)$

$(3, 0)$

$(- 3, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{3} - x^{2} + 9 d x - \int_{0}^{3} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 9 - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $- x^{2} + 9$ .

$\int_{0}^{3} - x^{2} + 9 d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{3} - x^{2} d x + \int_{0}^{3} 9 d x$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 9 d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 9 d x$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 9 d x$

Passaggio 3.7

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 9 x]_{0}^{3}$

Passaggio 3.8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $3$ e per $0$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 9 x]_{0}^{3}$

Passaggio 3.8.2

Calcola $9 x$ per $3$ e per $0$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.2.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$- (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (9 - \frac{0}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.4.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (9 - \frac{0}{1}) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (9 - 0) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- (9 + 0) + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.6

Somma $9$ e $0$ .

$- 1 \cdot 9 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.7

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 + 9 \cdot 3 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.8

Moltiplica $9$ per $3$ .

$- 9 + 27 - 9 \cdot 0$

Passaggio 3.8.3.9

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$- 9 + 27 + 0$

Passaggio 3.8.3.10

Somma $27$ e $0$ .

$- 9 + 27$

Passaggio 3.8.3.11

Somma $- 9$ e $27$ .

$18$

Passaggio 4

$A r e a = \int_{3}^{5} 0 d x - \int_{3}^{5} - x^{2} + 9 d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $3$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{3}^{5} 0 - (- x^{2} + 9) d x$

Passaggio 5.2

Sottrai $- x^{2} + 9$ da $0$ .

$\int_{3}^{5} - (- x^{2} + 9) d x$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{3}^{5} x^{2} - 1 \cdot 9 d x$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\int_{3}^{5} x^{2} - 9 d x$

Passaggio 5.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{3}^{5} x^{2} d x + \int_{3}^{5} - 9 d x$

Passaggio 5.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{5} + \int_{3}^{5} - 9 d x$

Passaggio 5.7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{5} + - 9 x]_{3}^{5}$

Passaggio 5.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{5}$ e $- 9 x]_{3}^{5}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 9 x]_{3}^{5}$

Passaggio 5.8.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x$ per $5$ e per $3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3} - 9 \cdot 5) - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 125 - 9 \cdot 5 - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $125$ .

$\frac{125}{3} - 9 \cdot 5 - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.3

Moltiplica $- 9$ per $5$ .

$\frac{125}{3} - 45 - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.4

Per scrivere $- 45$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} - 45 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.5

$- 45$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{125}{3} + \frac{- 45 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{125 - 45 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.2.7.1

Moltiplica $- 45$ per $3$ .

$\frac{125 - 135}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.7.2

Sottrai $135$ da $125$ .

$\frac{- 10}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{10}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.9

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{10}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 27 - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.10

$\frac{1}{3}$ e $27$ .

$- \frac{10}{3} - (\frac{27}{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.11

Elimina il fattore comune di $27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.2.11.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$- \frac{10}{3} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.2.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{10}{3} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{10}{3} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{10}{3} - (\frac{9}{1} - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.11.2.4

Dividi $9$ per $1$ .

$- \frac{10}{3} - (9 - 9 \cdot 3)$

Passaggio 5.8.2.2.12

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$- \frac{10}{3} - (9 - 27)$

Passaggio 5.8.2.2.13

Sottrai $27$ da $9$ .

$- \frac{10}{3} - - 18$

Passaggio 5.8.2.2.14

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$- \frac{10}{3} + 18$

Passaggio 5.8.2.2.15

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{10}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 5.8.2.2.16

$18$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{10}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.8.2.2.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 10 + 18 \cdot 3}{3}$

Passaggio 5.8.2.2.18

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.2.2.18.1

Moltiplica $18$ per $3$ .

$\frac{- 10 + 54}{3}$

Passaggio 5.8.2.2.18.2

Somma $- 10$ e $54$ .

$\frac{44}{3}$

Passaggio 6

Somma le aree $18 + \frac{44}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} + \frac{44}{3}$

Passaggio 6.2

$18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} + \frac{44}{3}$

Passaggio 6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{18 \cdot 3 + 44}{3}$

Passaggio 6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Moltiplica $18$ per $3$ .

$\frac{54 + 44}{3}$

Passaggio 6.4.2

Somma $54$ e $44$ .

$\frac{98}{3}$

Passaggio 7