Calcolo Esempi

$y = e^{2 x}$ ; $[0, 4]$

Passaggio 1

Scrivi $y = e^{2 x}$ come funzione.

$f (x) = e^{2 x}$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

$f (x)$ è continua su $[0, 4]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} e^{2 x} d x)$

Passaggio 6

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 6.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

Passaggio 6.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$u_{upper} = 8$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{8} e^{u} (\frac{1}{2}) d u)$

Passaggio 7

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{8} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{8} e^{u} d u)$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{8})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola $e^{u}$ per $8$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot ((e^{8}) - e^{0}))$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot (e^{8} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot (e^{8} - 1))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{2} \cdot e^{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{2}$ e $e^{8}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Passaggio 11.3

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} + \frac{- 1}{2})$

Passaggio 11.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 12

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 12.2

Somma $4$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{e^{8}}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 13

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{e^{8}}{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

Passaggio 13.2

Combina.

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

Passaggio 14

Moltiplica $\frac{1}{4} (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1 e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $e^{8}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{e^{8}}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$A (x) = \frac{e^{8}}{8} - \frac{1}{8}$

Passaggio 16