Calcolo Esempi

$y = 8 x (20 - x)$ ; $[0, 20]$

Passaggio 1

Scrivi $y = 8 x (20 - x)$ come funzione.

$f (x) = 8 x (20 - x)$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

$f (x)$ è continua su $[0, 20]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x (20 - x) d x)$

Passaggio 6

Moltiplica $8 x (20 - x)$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 8 x \cdot 20 + 8 x (- x) d x)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $20$ per $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x + 8 x (- x) d x)$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x \cdot x d x)$

Passaggio 7.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Passaggio 7.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 (x \cdot x) d x)$

Passaggio 7.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{1 + 1} d x)$

Passaggio 7.6

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x - 8 x^{2} d x)$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 160 x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Passaggio 9

Poiché $160$ è costante rispetto a $x$ , sposta $160$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Passaggio 11

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} - 8 x^{2} d x)$

Passaggio 12

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 8$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 \int_{0}^{20} x^{2} d x)$

Passaggio 13

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}))$

Passaggio 14

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Passaggio 14.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $20$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{20}))$

Passaggio 14.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $20$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{20^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.2

Elimina il fattore comune di $400$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $400$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.2.2.4

Dividi $200$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0^{2}}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 (0)}{2}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - \frac{0}{1}) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 - 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 (200 + 0) - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.6

Somma $200$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (160 \cdot 200 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.7

Moltiplica $160$ per $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{20^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.8

Eleva $20$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 14.2.3.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{3}))$

Passaggio 14.2.3.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.10.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Passaggio 14.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 14.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 14.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - \frac{0}{1}))$

Passaggio 14.2.3.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} - 0))$

Passaggio 14.2.3.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3} + 0))$

Passaggio 14.2.3.12

Somma $\frac{8000}{3}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - 8 (\frac{8000}{3}))$

Passaggio 14.2.3.13

$- 8$ e $\frac{8000}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 8 \cdot 8000}{3})$

Passaggio 14.2.3.14

Moltiplica $- 8$ per $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 + \frac{- 64000}{3})$

Passaggio 14.2.3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 - \frac{64000}{3})$

Passaggio 14.2.3.16

Per scrivere $32000$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (32000 \cdot \frac{3}{3} - \frac{64000}{3})$

Passaggio 14.2.3.17

$32000$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3}{3} - \frac{64000}{3})$

Passaggio 14.2.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000 \cdot 3 - 64000}{3})$

Passaggio 14.2.3.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.19.1

Moltiplica $32000$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{96000 - 64000}{3})$

Passaggio 14.2.3.19.2

Sottrai $64000$ da $96000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{32000}{3})$

Passaggio 15

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{32000}{3}$

Passaggio 15.2

Somma $20$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{32000}{3}$

Passaggio 16

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Scomponi $20$ da $32000$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (1600)}{3}$

Passaggio 16.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 1600}{3}$

Passaggio 16.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1600}{3}$

Passaggio 17