Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ ; $[- 1, 1]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[- 1, 1]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{5}{x^{2} + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in $\frac{5}{x^{2} + 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 1.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 1.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 1.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 1.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 1.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} \frac{5}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Passaggio 6.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 \int_{- 1}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x)]_{- 1}^{1}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (x)]_{- 1}^{1}))$

Passaggio 8

Calcola $\arctan (x)$ per $1$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\arctan (1) - \arctan (- 1)))$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} - \arctan (- 1)))$

Passaggio 9.1.2

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- - \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 9.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})))$

Passaggio 9.1.3.2

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}))$

Passaggio 9.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π + π}{4}))$

Passaggio 9.3

Somma $π$ e $π$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{4}))$

Passaggio 9.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 9.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 (π)}{4}))$

Passaggio 9.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 9.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{2 π}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 9.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (5 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 9.5

$5$ e $\frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{5 π}{2})$

Passaggio 10

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{5 π}{2}$ .

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Passaggio 11.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{5 π}{2}$ .

$A (x) = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$A (x) = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 12