Calcolo Esempi

$y = 2 e^{- x}$ ; $[0, 5]$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 e^{- x}$ come funzione.

$f (x) = 2 e^{- x}$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

$f (x)$ è continua su $[0, 5]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 2 e^{- x} d x)$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 \int_{0}^{5} e^{- x} d x)$

Passaggio 7

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 7.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 5$

Passaggio 7.5

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$u_{upper} = - 5$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 5$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 \int_{0}^{- 5} - e^{u} d u)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (2 (- \int_{0}^{- 5} e^{u} d u))$

Passaggio 9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 \int_{0}^{- 5} e^{u} d u)$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{u}]_{0}^{- 5}))$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola $e^{u}$ per $- 5$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 ((e^{- 5}) - e^{0}))$

Passaggio 11.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{- 5} - 1 \cdot 1))$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (e^{- 5} - 1))$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 (\frac{1}{e^{5}} - 1))$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- 2 \frac{1}{e^{5}} - 2 \cdot - 1)$

Passaggio 12.3

$- 2$ e $\frac{1}{e^{5}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{- 2}{e^{5}} - 2 \cdot - 1)$

Passaggio 12.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{- 2}{e^{5}} + 2)$

Passaggio 12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

Passaggio 13

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

Passaggio 13.2

Somma $5$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{2}{e^{5}} + 2)$

Passaggio 14

Semplifica i termini.

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Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{2}{e^{5}}) + \frac{1}{5} \cdot 2$

Passaggio 14.2

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{2}{e^{5}}$ .

$A (x) = - \frac{2}{5 e^{5}} + \frac{1}{5} \cdot 2$

Passaggio 14.3

$\frac{1}{5}$ e $2$ .

$A (x) = - \frac{2}{5 e^{5}} + \frac{2}{5}$

Passaggio 15