Calcolo Esempi

$f (x) = x (x - 1)$ ; $[3, 8]$

Passaggio 1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[3, 8]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x (x - 1) d x)$

Passaggio 5

Moltiplica $x (x - 1)$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x \cdot x + x \cdot - 1 d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x)$

Passaggio 6.2

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} + x \cdot - 1 d x)$

Passaggio 6.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} - 1 \cdot x d x)$

Passaggio 6.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} - x d x)$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\int_{3}^{8} x^{2} d x + \int_{3}^{8} - x d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} + \int_{3}^{8} - x d x)$

Passaggio 9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - \int_{3}^{8} x d x)$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{3}^{8}))$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} x^{3}]_{3}^{8} - (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{8}))$

Passaggio 11.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3}$ per $8$ e per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} ((\frac{1}{3} \cdot 8^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{x^{2}}{2}]_{3}^{8}))$

Passaggio 11.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $8$ e per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} \cdot 8^{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{1}{3} \cdot 512 - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.2

$\frac{1}{3}$ e $512$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 27 - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.4

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 27 (\frac{1}{3}) - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.5

$- 27$ e $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 27}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.6

Elimina il fattore comune di $- 27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.6.1

Scomponi $3$ da $- 27$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 9}{1} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.6.2.4

Dividi $- 9$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 9 - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.7

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} - 9 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.8

$- 9$ e $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512 - 9 \cdot 3}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.10.1

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{512 - 27}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.10.2

Sottrai $27$ da $512$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{8^{2}}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.11

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{64}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.12

Elimina il fattore comune di $64$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.12.1

Scomponi $2$ da $64$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.12.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{32}{1} - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.12.2.4

Dividi $32$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 - \frac{3^{2}}{2}))$

Passaggio 11.2.3.13

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 - \frac{9}{2}))$

Passaggio 11.2.3.14

Per scrivere $32$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (32 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}))$

Passaggio 11.2.3.15

$32$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - (\frac{32 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}))$

Passaggio 11.2.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{32 \cdot 2 - 9}{2})$

Passaggio 11.2.3.17

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.17.1

Moltiplica $32$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{64 - 9}{2})$

Passaggio 11.2.3.17.2

Sottrai $9$ da $64$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} - \frac{55}{2})$

Passaggio 11.2.3.18

Per scrivere $\frac{485}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{55}{2})$

Passaggio 11.2.3.19

Per scrivere $- \frac{55}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 11.2.3.20

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.20.1

Moltiplica $\frac{485}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 11.2.3.20.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 11.2.3.20.3

Moltiplica $\frac{55}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55 \cdot 3}{2 \cdot 3})$

Passaggio 11.2.3.20.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2}{6} - \frac{55 \cdot 3}{6})$

Passaggio 11.2.3.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{485 \cdot 2 - 55 \cdot 3}{6})$

Passaggio 11.2.3.22

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.22.1

Moltiplica $485$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{970 - 55 \cdot 3}{6})$

Passaggio 11.2.3.22.2

Moltiplica $- 55$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{970 - 165}{6})$

Passaggio 11.2.3.22.3

Sottrai $165$ da $970$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 3} (\frac{805}{6})$

Passaggio 12

Sottrai $3$ da $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{805}{6}$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Scomponi $5$ da $805$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (161)}{6}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 161}{6}$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{161}{6}$

Passaggio 14