Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $x^{2} + 3$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.2

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2}) - 1 \cdot - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.4

Riscrivi $- (x^{2} - 3)$ come $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.1.8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 2.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \sqrt{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2.7320508$ nell'espressione.

$f' (- 2.7320508) = - \frac{{(- 2.7320508)}^{2} - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 2.7320508$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Sottrai $3$ da $7.46410157$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({(- 2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 2.7320508$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $7.46410157$ e $3$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $10.46410157$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi $4.46410157$ per $109.49742174$ .

$f' (- 2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0.04076901$ .

$f' (- 2.7320508) = - 0.04076901$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 2.7320508$ la derivata è $- 0.04076901$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \sqrt{3})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2} - 3}{{({(0)}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = - \frac{0 - 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $3$ da $0$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{{(0 + 3)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{3^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (0) = - \frac{- 3}{9}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f' (0) = - \frac{3 (- 1)}{9}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (0) = - \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (0) = - \frac{- 1}{3}$

Passaggio 6.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (0) = \frac{1}{3}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $\frac{1}{3}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1.7320508, \sqrt{3})$ .

Crescente su $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\sqrt{3}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.7320508$ nell'espressione.

$f' (2.7320508) = - \frac{{(2.7320508)}^{2} - 3}{{({(2.7320508)}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2.7320508$ alla potenza di $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{7.46410157 - 3}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $3$ da $7.46410157$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{({2.7320508}^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $2.7320508$ alla potenza di $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{(7.46410157 + 3)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $7.46410157$ e $3$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{{10.46410157}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $10.46410157$ alla potenza di $2$ .

$f' (2.7320508) = - \frac{4.46410157}{109.49742174}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Dividi $4.46410157$ per $109.49742174$ .

$f' (2.7320508) = - 1 \cdot 0.04076901$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0.04076901$ .

$f' (2.7320508) = - 0.04076901$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- 0.04076901$ .

$- 0.04076901$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2.7320508$ la derivata è $- 0.04076901$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Decrescente su $(\sqrt{3}, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

Decrescente su: $(- \infty, - \sqrt{3}), (\sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 9