Calcolo Esempi

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Passaggio 1.1.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = 3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Passaggio 1.1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} (- 6 \sin (x))$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Fattorizza $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $6 \cos (x)$ da $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $6 \cos (x)$ da $- 6 \cos (x) \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 6 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $6 \cos (x)$ da $- 6 \cos (x)$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $6 \cos (x)$ da $6 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 6 \cos (x) \cdot - 1$ .

$6 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.4.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.4.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.4.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.5

Imposta $- \sin (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $- \sin (x) - 1$ uguale a $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $- \sin (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = 1$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 2.5.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 2.5.2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 2.5.2.6.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.5.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.5.2.8

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.8.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 2.5.2.8.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.8.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.8.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.8.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.5.2.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.8.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.5.2.8.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.5.2.8.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.5.2.9

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.7

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{π}{2} + π n$ .

$\frac{π}{2} + π n$

Passaggio 4

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2} + π n - 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Passaggio 5.2

La risposta finale è $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ .

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Passaggio 5.3

Semplifica.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

Passaggio 5.4

In corrispondenza di $x = \frac{π}{2} + π n - 1$ la derivata è $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1) \sin (\frac{π}{2} + π n - 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2} + π n + 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ .

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

Passaggio 6.4

In corrispondenza di $x = \frac{π}{2} + π n + 1$ la derivata è $- 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1) \sin (\frac{π}{2} + π n + 1) - 6 \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Decrescente su: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n), (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

Passaggio 8