Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} {(x - 5)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(x - 5)}^{2}$ come $(x - 5) (x - 5)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} ((x - 5) (x - 5)))$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(x - 5) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x (x - 5) - 5 (x - 5)))$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)))$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5))$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5))$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5))$

Passaggio 1.1.3.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x^{2} - 5 x - 5 x + 25))$

Passaggio 1.1.3.2

Sottrai $5 x$ da $- 5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} (x^{2} - 10 x + 25))$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 10 x + 25$ .

$f' (x) = x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 10 x + 25) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 10 x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.5.3

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 x$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.5.5

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.5.6

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10 + 0) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.5.7

Somma $2 x - 10$ e $0$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 1.1.5.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10) + (x^{2} - 10 x + 25) (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.5.9

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} - 10 x + 25$ .

$f' (x) = x^{3} (2 x - 10) + 3 \cdot ((x^{2} - 10 x + 25) x^{2})$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 10 + 3 (x^{2} - 10 x + 25) x^{2}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 10 + (3 x^{2} + 3 (- 10 x) + 3 \cdot 25) x^{2}$

Passaggio 1.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{3} (2 x) + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{1 + 3} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$f' (x) = x^{4} \cdot 2 + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$f' (x) = 2 \cdot x^{4} + x^{3} \cdot - 10 + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.3

Sposta $- 10$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 \cdot x^{3} + 3 x^{2} x^{2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 (x^{2} x^{2}) + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{2 + 2} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} + 3 (- 10 x) x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.5

Moltiplica $- 10$ per $3$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 x \cdot x^{2} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.6

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.6.1

Sposta $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 (x^{2} x) + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.6.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.4.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 (x^{2} x) + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 x^{2 + 1} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 x^{3} + 3 \cdot (25 x^{2})$

Passaggio 1.1.6.4.7

Moltiplica $3$ per $25$ .

$f' (x) = 2 x^{4} - 10 x^{3} + 3 x^{4} - 30 x^{3} + 75 x^{2}$

Passaggio 1.1.6.4.8

Somma $2 x^{4}$ e $3 x^{4}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 x^{3} - 30 x^{3} + 75 x^{2}$

Passaggio 1.1.6.4.9

Sottrai $30 x^{3}$ da $- 10 x^{3}$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $5 x^{2}$ da $5 x^{4} - 40 x^{3} + 75 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $5 x^{2}$ da $5 x^{4}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) - 40 x^{3} + 75 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $5 x^{2}$ da $- 40 x^{3}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (- 8 x) + 75 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $5 x^{2}$ da $75 x^{2}$ .

$5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (- 8 x) + 5 x^{2} (15) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $5 x^{2}$ da $5 x^{2} (x^{2}) + 5 x^{2} (- 8 x)$ .

$5 x^{2} (x^{2} - 8 x) + 5 x^{2} (15) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $5 x^{2}$ da $5 x^{2} (x^{2} - 8 x) + 5 x^{2} (15)$ .

$5 x^{2} (x^{2} - 8 x + 15) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 8 x + 15$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $15$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 5, - 3$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$5 x^{2} ((x - 5) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$5 x^{2} (x - 5) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $5 x^{2} (x - 5) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 5, 3$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 5, 3$ .

$0, 5, 3$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 5) \cup (5, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} - 40 {(- 1)}^{3} + 75 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 1) = 5 \cdot 1 - 40 {(- 1)}^{3} + 75 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f' (- 1) = 5 - 40 {(- 1)}^{3} + 75 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = 5 - 40 \cdot - 1 + 75 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 40$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 5 + 40 + 75 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = 5 + 40 + 75 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $75$ per $1$ .

$f' (- 1) = 5 + 40 + 75$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $5$ e $40$ .

$f' (- 1) = 45 + 75$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $45$ e $75$ .

$f' (- 1) = 120$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $120$ .

$120$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $120$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = 5 {(\frac{3}{2})}^{4} - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 5 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 5 (\frac{81}{2^{4}}) - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 5 (\frac{81}{16}) - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $5 (\frac{81}{16})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

$5$ e $\frac{81}{16}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot 81}{16} - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4.2

Moltiplica $5$ per $81$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 40 {(\frac{3}{2})}^{3} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 40 \frac{3^{3}}{2^{3}} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 40 \frac{27}{2^{3}} + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 40 (\frac{27}{8}) + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.8

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.8.1

Scomponi $8$ da $- 40$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + 8 (- 5) (\frac{27}{8}) + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + 8 \cdot (- 5 (\frac{27}{8})) + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 5 \cdot 27 + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $- 5$ per $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + 75 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.10

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + 75 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 6.2.1.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + 75 (\frac{9}{2^{2}})$

Passaggio 6.2.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + 75 (\frac{9}{4})$

Passaggio 6.2.1.13

Moltiplica $75 (\frac{9}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.13.1

$75$ e $\frac{9}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + \frac{75 \cdot 9}{4}$

Passaggio 6.2.1.13.2

Moltiplica $75$ per $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} - 135 + \frac{675}{4}$

Passaggio 6.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scrivi $- 135$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135}{1} + \frac{675}{4}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 135}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{675}{4}$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 135}{1}$ per $\frac{16}{16}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135 \cdot 16}{16} + \frac{675}{4}$

Passaggio 6.2.2.4

Moltiplica $\frac{675}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135 \cdot 16}{16} + \frac{675}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $\frac{675}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135 \cdot 16}{16} + \frac{675 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 6.2.2.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405}{16} + \frac{- 135 \cdot 16}{16} + \frac{675 \cdot 4}{16}$

Passaggio 6.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405 - 135 \cdot 16 + 675 \cdot 4}{16}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $- 135$ per $16$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405 - 2160 + 675 \cdot 4}{16}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $675$ per $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{405 - 2160 + 2700}{16}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Sottrai $2160$ da $405$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1755 + 2700}{16}$

Passaggio 6.2.5.2

Somma $- 1755$ e $2700$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{945}{16}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $\frac{945}{16}$ .

$\frac{945}{16}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{3}{2}$ la derivata è $\frac{945}{16}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 3)$ .

Crescente su $(0, 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, 5)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 5 {(4)}^{4} - 40 {(4)}^{3} + 75 {(4)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = 5 \cdot 256 - 40 {(4)}^{3} + 75 {(4)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $5$ per $256$ .

$f' (4) = 1280 - 40 {(4)}^{3} + 75 {(4)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f' (4) = 1280 - 40 \cdot 64 + 75 {(4)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 40$ per $64$ .

$f' (4) = 1280 - 2560 + 75 {(4)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 1280 - 2560 + 75 \cdot 16$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $75$ per $16$ .

$f' (4) = 1280 - 2560 + 1200$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $2560$ da $1280$ .

$f' (4) = - 1280 + 1200$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 1280$ e $1200$ .

$f' (4) = - 80$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 80$ .

$- 80$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $- 80$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(3, 5)$ .

Decrescente su $(3, 5)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(5, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = 5 {(6)}^{4} - 40 {(6)}^{3} + 75 {(6)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$f' (6) = 5 \cdot 1296 - 40 {(6)}^{3} + 75 {(6)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1296$ .

$f' (6) = 6480 - 40 {(6)}^{3} + 75 {(6)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f' (6) = 6480 - 40 \cdot 216 + 75 {(6)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 40$ per $216$ .

$f' (6) = 6480 - 8640 + 75 {(6)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.5

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = 6480 - 8640 + 75 \cdot 36$

Passaggio 8.2.1.6

Moltiplica $75$ per $36$ .

$f' (6) = 6480 - 8640 + 2700$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $8640$ da $6480$ .

$f' (6) = - 2160 + 2700$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $- 2160$ e $2700$ .

$f' (6) = 540$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $540$ .

$540$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 6$ la derivata è $540$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(5, \infty)$ .

Crescente su $(5, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0), (0, 3), (5, \infty)$

Decrescente su: $(3, 5)$

Passaggio 10