Calcolo Esempi

$f (x) = e^{x} - 3 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = e^{x} - 3 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = e^{x} - 6 x$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 6 x + e^{x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 x + e^{x}$ .

$- 6 x + e^{x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 6 x + e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 6 x + e^{x} = 0$

Passaggio 2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx 0.20448144, 2.83314789$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0.20448144, 2.83314789$ .

$0.20448144, 2.83314789$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0.20448144) \cup (0.20448144, 2.83314789) \cup (2.83314789, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0.20448144)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.79551855$ nell'espressione.

$f' (- 0.79551855) = - 6 \cdot - 0.79551855 + e^{- 0.79551855}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 6$ per $- 0.79551855$ .

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + e^{- 0.79551855}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.79551855) = 4.7731113 + \frac{1}{e^{0.79551855}}$

Passaggio 5.2.2

Somma $4.7731113$ e $\frac{1}{e^{0.79551855}}$ .

$f' (- 0.79551855) = 5.22445842$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $5.22445842$ .

$5.22445842$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $x = - 0.79551855$ la derivata è $5.22445842$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0.20448144)$ .

Crescente su $(- \infty, 0.20448144)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.20448145, 2.83314789)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.51881472$ nell'espressione.

$f' (1.51881472) = - 6 \cdot 1.51881472 + e^{1.51881472}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 6$ per $1.51881472$ .

$f' (1.51881472) = - 9.11288835 + e^{1.51881472}$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 9.11288835$ e $e^{1.51881472}$ .

$f' (1.51881472) = - 4.54607928$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 4.54607928$ .

$- 4.54607928$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 1.51881472$ la derivata è $- 4.54607928$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0.20448145, 2.83314789)$ .

Decrescente su $(0.20448144, 2.83314789)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(2.83314789, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.833148$ nell'espressione.

$f' (3.833148) = - 6 \cdot 3.833148 + e^{3.833148}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 6$ per $3.833148$ .

$f' (3.833148) = - 22.998888 + e^{3.833148}$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 22.998888$ e $e^{3.833148}$ .

$f' (3.833148) = 23.20888358$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $23.20888358$ .

$23.20888358$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 3.833148$ la derivata è $23.20888358$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(2.83314789, \infty)$ .

Crescente su $(2.83314789, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0.20448144), (2.83314789, \infty)$

Decrescente su: $(0.20448144, 2.83314789)$

Passaggio 9