Calcolo Esempi

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4 \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.1.2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.1.2.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.1.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.2.10

$- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.12

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.1.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Passaggio 2.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 2^{2}$

Passaggio 2.5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = 2^{2}$

Passaggio 2.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = 4$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $4$ .

$4$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{\sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 4.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Riscrivi ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Calcola l'esponente.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{\sqrt{- 1}}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2}{i}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{2}{i}$ per il coniugato di $i$ per rendere il denominatore reale.

$f' (- 1) = 1 - (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i})$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Combina.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.2.1

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i i}$

Passaggio 6.2.1.3.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{1 + 1}}$

Passaggio 6.2.1.3.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{i^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3.2.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - \frac{2 i}{- 1}$

Passaggio 6.2.1.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 i}{- 1}$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1 \cdot (2 i))$

Passaggio 6.2.1.5

Riscrivi $- 1 \cdot (2 i)$ come $- (2 i)$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 2 i)$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 2 i$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $1 + 2 i$ .

$1 + 2 i$

Passaggio 6.3

Con $x = - 1$ la derivata è $1 + 2 i$ . Poiché contiene un numero immaginario, la funzione non esiste su $(- \infty, 0)$ .

La funzione non è reale su $(- \infty, 0)$ poiché $f' (x)$ è immaginario

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 1 - \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Sposta ${(2)}^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f' (2) = 1 - (2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 7.2.1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (2) = 1 - 2^{1 - \frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2.1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{2 - 1}{2}}$

Passaggio 7.2.1.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$f' (2) = 1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $1 - 2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$- 0.41421356$

Passaggio 7.4

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $- 0.41421356$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 4)$ .

Decrescente su $(0, 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{{(5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (5) = 1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.2.2

La risposta finale è $1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{5^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

$0.1055728$

Passaggio 8.4

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $0.1055728$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(4, \infty)$ .

Crescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(4, \infty)$

Decrescente su: $(0, 4)$

Passaggio 10