Calcolo Esempi

$y = \frac{e^{2 u}}{e^{u} + e^{- u}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ è $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ dove $f (u) = e^{2 u}$ e $g (u) = e^{u} + e^{- u}$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) \frac{d}{d u} [e^{2 u}] - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ è $f' (g (u)) g' (u)$ dove $f (u) = e^{u}$ e $g (u) = 2 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 u$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 u$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) (e^{2 u} \frac{d}{d u} [2 u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $2 u$ rispetto a $u$ è $2 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} (2 \frac{d}{d u} [u]) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} (2 \cdot 1) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} \cdot 2 - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $(e^{u} + e^{- u}) e^{2 u}$ .

$\frac{2 \cdot ((e^{u} + e^{- u}) e^{2 u}) - e^{2 u} \frac{d}{d u} [e^{u} + e^{- u}]}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{u} + e^{- u}$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [e^{u}] + \frac{d}{d u} [e^{- u}]$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (\frac{d}{d u} [e^{u}] + \frac{d}{d u} [e^{- u}])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + \frac{d}{d u} [e^{- u}])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ è $f' (g (u)) g' (u)$ dove $f (u) = e^{u}$ e $g (u) = - u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- u$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{u_{2}} \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- u$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} \frac{d}{d u} [- u])}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $- u$ rispetto a $u$ è $- \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} (- \frac{d}{d u} [u]))}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} (- 1 \cdot 1))}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} + e^{- u} \cdot - 1)}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- u}$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - 1 \cdot e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- u}$ come $- e^{- u}$ .

$\frac{2 (e^{u} + e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 e^{u} + 2 e^{- u}) e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 e^{u} e^{2 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} (e^{u} - e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 e^{u} e^{2 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Moltiplica $e^{u}$ per $e^{2 u}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1.1

Sposta $e^{2 u}$ .

$\frac{2 (e^{2 u} e^{u}) + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 e^{2 u + u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.1.3

Somma $2 u$ e $u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{- u} e^{2 u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $e^{- u}$ per $e^{2 u}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.2.1

Sposta $e^{2 u}$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 (e^{2 u} e^{- u}) - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{2 u - u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.2.3

Sottrai $u$ da $2 u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{2 u} e^{u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.3

Moltiplica $e^{2 u}$ per $e^{u}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.3.1

Sposta $e^{u}$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - (e^{u} e^{2 u}) - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{u + 2 u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.3.3

Somma $u$ e $2 u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - e^{2 u} (- e^{- u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{2 u} e^{- u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.5

Moltiplica $e^{2 u}$ per $e^{- u}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.5.1

Sposta $e^{- u}$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 (e^{- u} e^{2 u})}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{- u + 2 u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.5.3

Somma $- u$ e $2 u$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} - 1 \cdot - 1 e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} + 1 e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.1.7

Moltiplica $e^{u}$ per $1$ .

$\frac{2 e^{3 u} + 2 e^{u} - e^{3 u} + e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Sottrai $e^{3 u}$ da $2 e^{3 u}$ .

$\frac{2 e^{u} + e^{3 u} + e^{u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$

Passaggio 7.4.3

Somma $2 e^{u}$ e $e^{u}$ .

$\frac{3 e^{u} + e^{3 u}}{{(e^{u} + e^{- u})}^{2}}$