Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \ln (4 x) - \ln (x + 1)$

Passaggio 1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{x \to \infty} \ln (\frac{4 x}{x + 1})$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\ln (lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x + 1})$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\ln (4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + 1})$

Passaggio 3

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$\ln (4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}})$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}})$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}})$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}})$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}})$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\ln (4 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}})$

Passaggio 4.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\ln (4 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}})$

Passaggio 4.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\ln (4 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})$

Passaggio 4.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\ln (4 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})$

Passaggio 5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\ln (4 \frac{1}{1 + 0})$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\ln (4 (\frac{1}{1}))$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (4 (\frac{1}{1}))$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (4 \cdot 1)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\ln (4)$