Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

Passaggio 1.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 x + 200}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 x + 200} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x + 200]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 200$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [200]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [200]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [200]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + \frac{d}{d x} [200]}$

Passaggio 3.5

Poiché $200$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $200$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 + 0}$

Passaggio 3.6

Somma $5$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5}$

Passaggio 4

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $\frac{1}{5}$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 4.1

Considera il limite con il multiplo costante $\frac{1}{5}$ rimosso.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

Passaggio 4.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$\infty$