Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - x - 1}{\cos (x) - 1}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - x - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Passaggio 1.2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Passaggio 1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0} - lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0} + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Passaggio 1.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Passaggio 1.2.5.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Passaggio 1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - x - 1}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - x - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - x - 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Passaggio 3.6

Somma $e^{x} - 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x) + 0}$

Passaggio 3.10

Somma $- \sin (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x)}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{- lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Passaggio 4.1.3.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{- \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 4.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{- \sin (0)}$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Passaggio 4.1.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{- \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.5

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Passaggio 4.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Passaggio 4.3.7

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{- \cos (x)}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} - \cos (x)}$

Passaggio 5.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} - \cos (x)}$

Passaggio 5.3

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{- lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Passaggio 5.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{- \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0}}{- \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0}}{- \cos (0)}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Frazioni separate.

$\frac{e^{0}}{- 1} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Passaggio 7.2

Converti da $\frac{1}{\cos (0)}$ a $\sec (0)$ .

$\frac{e^{0}}{- 1} \sec (0)$

Passaggio 7.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{e^{0}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot e^{0} \sec (0)$

Passaggio 7.4

Riscrivi $- 1 \cdot e^{0}$ come $- e^{0}$ .

$- e^{0} \sec (0)$

Passaggio 7.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1 \sec (0)$

Passaggio 7.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \sec (0)$

Passaggio 7.7

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 7.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$