Calcolo Esempi

$lim_{t \to 0} \frac{1 + t - e^{- t}}{\ln (t + 1)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{t \to 0} 1 + t - e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $0$ .

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - e^{lim_{t \to 0} - t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Passaggio 1.2.4

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - e^{- lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Passaggio 1.2.5

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{1 + 0 - e^{- lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Passaggio 1.2.5.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{1 + 0 - e^{0}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Passaggio 1.2.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Passaggio 1.2.6.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + 1)}$

Passaggio 1.3.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1)}$

Passaggio 1.3.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + 1)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$\frac{0}{\ln (0 + 1)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{t \to 0} \frac{1 + t - e^{- t}}{\ln (t + 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1 + t - e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1 + t - e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t - e^{- t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.5

Calcola $\frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- e^{- t}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - \frac{d}{d t} [e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.5.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.5.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.5.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} \cdot - 1)}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.5.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (- 1 e^{- t})}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.5.7

Riscrivi $- 1 e^{- t}$ come $- e^{- t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - - e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + 1 e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.5.9

Moltiplica $e^{- t}$ per $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.6

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t + 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Passaggio 3.7.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t + 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Passaggio 3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1])}$

Passaggio 3.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (1 + 0)}$

Passaggio 3.11

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} \cdot 1}$

Passaggio 3.12

Moltiplica $\frac{1}{t + 1}$ per $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{t \to 0} (1 + e^{- t}) (t + 1)$

Passaggio 5

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$lim_{t \to 0} 1 + e^{- t} \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Passaggio 6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$(lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} e^{- t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Passaggio 7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $0$ .

$(1 + lim_{t \to 0} e^{- t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Passaggio 8

Sposta il limite nell'esponente.

$(1 + e^{lim_{t \to 0} - t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Passaggio 9

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Passaggio 10

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $0$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot (lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1)$

Passaggio 11

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $0$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot (lim_{t \to 0} t + 1)$

Passaggio 12

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$(1 + e^{0}) \cdot (lim_{t \to 0} t + 1)$

Passaggio 12.2

Calcola il limite di $t$ inserendo $0$ per $t$ .

$(1 + e^{0}) \cdot (0 + 1)$

Passaggio 13

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$(1 + 1) \cdot (0 + 1)$

Passaggio 13.2

Somma $1$ e $1$ .

$2 \cdot (0 + 1)$

Passaggio 13.3

Somma $0$ e $1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 13.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$