Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ per $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 2.4.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Riordina i termini.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 2.4.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.2.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Passaggio 2.4.1.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.4.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.3

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.3.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 2.4.3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.4.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.4.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $x^{2} - x - \ln (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- \frac{1}{2}$ a $x$ .

${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- \frac{1}{2}) - \ln (- \frac{1}{2})$

Passaggio 4.1.2

Il logaritmo naturale di un numero negativo è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{2} - (1) - \ln (1)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - (1) - \ln (1)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - 1 - \ln (1)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$1 - 1 - 0$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$1 - 1 + 0$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{2} - (0) - \ln (0)$

Passaggio 4.3.2

Il logaritmo naturale di zero è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(1, 0)$

Passaggio 5