Calcolo Esempi

$f (x) = 5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 \tan^{-1} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \tan^{-1} (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\tan^{-1} (x)]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (\tan^{-1} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\tan^{-1} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{1}{1 + x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.3

$5$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 3 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1.1

Per scrivere $- 9 x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} - 9 x^{2} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.4.1.2

$- 9 x^{2}$ e $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{1 + x^{2}} + \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.4.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{5 - 9 x^{2} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5}{x^{2} + 1} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 9 x^{2} (1 + x^{2}) + 5 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 9 x^{2} \cdot 1 - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{2} x^{2} + 5 = 0$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} - 9 (x^{2} x^{2}) + 5 = 0$

Passaggio 2.3.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 9 x^{2} - 9 x^{2 + 2} + 5 = 0$

Passaggio 2.3.1.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$- 9 x^{2} - 9 x^{4} + 5 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$- 9 u^{2} - 9 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 2.3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3.4

Sostituisci i valori $a = - 9$ , $b = - 9$ e $c = 5$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot 5)}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.5.1.2.2

Moltiplica $36$ per $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.5.1.3

Somma $81$ e $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.5.1.4

Riscrivi $261$ come $3^{2} \cdot 29$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.4.1

Scomponi $9$ da $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.5.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Passaggio 2.3.5.3

Semplifica $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Passaggio 2.3.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.6.1.2.2

Moltiplica $36$ per $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.6.1.3

Somma $81$ e $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.6.1.4

Riscrivi $261$ come $3^{2} \cdot 29$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1.4.1

Scomponi $9$ da $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.6.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Passaggio 2.3.6.3

Semplifica $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Passaggio 2.3.6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Passaggio 2.3.6.5

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 9 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 9 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 36 \cdot 5}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.7.1.2.2

Moltiplica $36$ per $5$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 180}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.7.1.3

Somma $81$ e $180$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.7.1.4

Riscrivi $261$ come $3^{2} \cdot 29$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1.4.1

Scomponi $9$ da $261$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.7.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 2.3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$u = \frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$

Passaggio 2.3.7.3

Semplifica $\frac{9 \pm 3 \sqrt{29}}{- 18}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{- 6}$

Passaggio 2.3.7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{29}}{6}$

Passaggio 2.3.7.5

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$u = - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Passaggio 2.3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \frac{3 + \sqrt{29}}{6}, - \frac{3 - \sqrt{29}}{6}$

Passaggio 2.3.9

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = - 1.39752746$

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Passaggio 2.3.10

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = - 1.39752746$

Passaggio 2.3.11

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.39752746}$

Passaggio 2.3.11.2

Semplifica $\pm \sqrt{- 1.39752746}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.2.1

Riscrivi $- 1.39752746$ come $- 1 (1.39752746)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.39752746)}$

Passaggio 2.3.11.2.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (1.39752746)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.39752746}$

Passaggio 2.3.11.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{1.39752746}$

Passaggio 2.3.11.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{1.39752746}$

Passaggio 2.3.11.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{1.39752746}$

Passaggio 2.3.11.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}$

Passaggio 2.3.12

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 0.39752746$

Passaggio 2.3.13

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = 0.39752746$

Passaggio 2.3.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.39752746}$

Passaggio 2.3.13.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{0.39752746}$

Passaggio 2.3.13.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{0.39752746}$

Passaggio 2.3.13.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Passaggio 2.3.14

La soluzione di $- 9 x^{4} - 9 x^{2} + 5 = 0$ è $x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$ .

$x = i \sqrt{1.39752746}, - i \sqrt{1.39752746}, \sqrt{0.39752746}, - \sqrt{0.39752746}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $5 \tan^{-1} (x) - 3 x^{3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \sqrt{0.39752746}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $\sqrt{0.39752746}$ .

$5 \tan^{-1} (\sqrt{0.39752746}) - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Calcola $\tan^{-1} (\sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot 0.56254301 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $5$ per $0.56254301$ .

$2.81271509 - 3 {(\sqrt{0.39752746})}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ come $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{{0.39752746}^{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $0.39752746$ alla potenza di $3$ .

$2.81271509 - 3 \sqrt{0.0628205}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $3 \sqrt{0.0628205}$ da $2.81271509$ .

$2.06079452$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \sqrt{0.39752746}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- \sqrt{0.39752746}$ .

$5 \tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746}) - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Calcola $\tan^{-1} (- \sqrt{0.39752746})$ .

$5 \cdot - 0.56254301 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $5$ per $- 0.56254301$ .

$- 2.81271509 - 3 {(- \sqrt{0.39752746})}^{3}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{0.39752746}$ .

$- 2.81271509 - 3 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- {\sqrt{0.39752746}}^{3})$

Passaggio 4.2.2.1.5

Riscrivi ${\sqrt{0.39752746}}^{3}$ come $\sqrt{{0.39752746}^{3}}$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{{0.39752746}^{3}})$

Passaggio 4.2.2.1.6

Eleva $0.39752746$ alla potenza di $3$ .

$- 2.81271509 - 3 (- \sqrt{0.0628205})$

Passaggio 4.2.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$- 2.81271509 + 3 \sqrt{0.0628205}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 2.81271509$ e $3 \sqrt{0.0628205}$ .

$- 2.06079452$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\sqrt{0.39752746}, 2.06079452), (- \sqrt{0.39752746}, - 2.06079452)$

Passaggio 5