Calcolo Esempi

$C (t) = 3 t e^{- \frac{1}{30} t}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

$t$ e $\frac{1}{30}$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (3 t e^{- \frac{t}{30}})$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t e^{- \frac{t}{30}}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{30}}]$ .

$f' (t) = 3 \frac{d}{d t} (t e^{- \frac{t}{30}})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- \frac{t}{30}}$ .

$f' (t) = 3 (t \frac{d}{d t} (e^{- \frac{t}{30}}) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - \frac{t}{30}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{t}{30}$ .

$f' (t) = 3 (t (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (t) = 3 (t (e^{u} \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{t}{30}$ .

$f' (t) = 3 (t (e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (- \frac{t}{30})) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 1.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- \frac{1}{30}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{t}{30}$ rispetto a $t$ è $- \frac{1}{30} \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = 3 (t (e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{1}{30} \cdot \frac{d}{d t} t)) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 1.1.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

$e^{- \frac{t}{30}}$ e $\frac{1}{30}$ .

$f' (t) = 3 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot \frac{d}{d t} t) + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 1.1.4.2.2

$t$ e $\frac{e^{- \frac{t}{30}}}{30}$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot \frac{d}{d t} t + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 1.1.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 1.1.4.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 1.1.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.4.6

Moltiplica $e^{- \frac{t}{30}}$ per $1$ .

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + e^{- \frac{t}{30}})$

Passaggio 1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (t) = 3 (- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30}) + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Passaggio 1.1.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (t) = - 3 \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Passaggio 1.1.5.2.2

$- 3$ e $\frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{30}$ .

$f' (t) = \frac{- 3 (t e^{- \frac{t}{30}})}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Passaggio 1.1.5.2.3

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.3.1

Scomponi $3$ da $- 3 t e^{- \frac{t}{30}}$ .

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{30} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Passaggio 1.1.5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $30$ .

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{3 (10)} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Passaggio 1.1.5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (t) = \frac{3 (- t e^{- \frac{t}{30}})}{3 \cdot 10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Passaggio 1.1.5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (t) = \frac{- t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Passaggio 1.1.5.2.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (t) = - \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $C (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $e^{- \frac{t}{30}}$ da $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10} + 3 e^{- \frac{t}{30}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $e^{- \frac{t}{30}}$ da $- \frac{t e^{- \frac{t}{30}}}{10}$ .

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + 3 e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $e^{- \frac{t}{30}}$ da $3 e^{- \frac{t}{30}}$ .

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 3 = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $e^{- \frac{t}{30}}$ da $e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10}) + e^{- \frac{t}{30}} \cdot 3$ .

$e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10} + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- \frac{t}{30}} = 0$

$- \frac{t}{10} + 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $e^{- \frac{t}{30}}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $e^{- \frac{t}{30}}$ uguale a $0$ .

$e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $e^{- \frac{t}{30}} = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- \frac{t}{30}}) = \ln (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- \frac{t}{30}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.5

Imposta $- \frac{t}{10} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $- \frac{t}{10} + 3$ uguale a $0$ .

$- \frac{t}{10} + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $- \frac{t}{10} + 3 = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{t}{10} = - 3$

Passaggio 2.5.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 10$ .

$- 10 (- \frac{t}{10}) = - 10 \cdot - 3$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1

Semplifica $- 10 (- \frac{t}{10})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{t}{10}$ nel numeratore.

$- 10 \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

Passaggio 2.5.2.3.1.1.1.2

Scomponi $10$ da $- 10$ .

$10 (- 1) \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

Passaggio 2.5.2.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$10 \cdot - 1 \frac{- t}{10} = - 10 \cdot - 3$

Passaggio 2.5.2.3.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - t = - 10 \cdot - 3$

Passaggio 2.5.2.3.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 t = - 10 \cdot - 3$

Passaggio 2.5.2.3.1.1.2.2

Moltiplica $t$ per $1$ .

$t = - 10 \cdot - 3$

Passaggio 2.5.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.2.1

Moltiplica $- 10$ per $- 3$ .

$t = 30$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- \frac{t}{30}} (- \frac{t}{10} + 3) = 0$ vera.

$t = 30$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $3 t e^{- \frac{1}{30} t}$ per ciascun valore di $t$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $t = 30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $t$ per $30$ .

$3 (30) \cdot e^{- \frac{1}{30} \cdot 30}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $3$ per $30$ .

$90 \cdot e^{- \frac{1}{30} \cdot 30}$

Passaggio 4.1.2.2

Elimina il fattore comune di $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{30}$ nel numeratore.

$90 \cdot e^{\frac{- 1}{30} \cdot 30}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$90 \cdot e^{\frac{- 1}{30} \cdot 30}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$90 \cdot e^{- 1}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$90 \cdot \frac{1}{e}$

Passaggio 4.1.2.4

$90$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{90}{e}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(30, \frac{90}{e})$

Passaggio 5