Calcolo Esempi

$y = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$ come funzione.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $x^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 2.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2.9

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{2}{3}} + x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

$x$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.3

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.4.1

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.4.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.4.5

Somma $- 1$ e $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.5

Riscrivi $- 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ come $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.6

Per scrivere $x^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.7

$x^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.9

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.10.2.10

Somma $3 x^{\frac{2}{3}}$ e $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{5}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.11

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.2.12

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 3.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 3.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 3.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 3.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Passaggio 3.3.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Passaggio 3.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Passaggio 3.3.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 3.3.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 3.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.16

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3.3.17

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 3.3.18

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.1.2.4.2

Moltiplica $x^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 5.1.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 5.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 5.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 5.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 5.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 5.1.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 5.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 5.1.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 5.1.9

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + (x - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 5.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + x (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.10.2.1

$x$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{x \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.3

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.10.2.4.1

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.4.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.10.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.4.5

Somma $- 1$ e $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.5

Riscrivi $- 1 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ come $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.6

Per scrivere $x^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.7

$x^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.9

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.1.10.2.10

Somma $3 x^{\frac{2}{3}}$ e $2 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 6.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Passaggio 6.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Passaggio 6.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 6.2.4

Poiché $3$ non presenta fattori eccetto $1$ e $3$ .

$3$ è un numero primo

Passaggio 6.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 6.2.6

Il minimo comune multiplo di $3, 3, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3$

Passaggio 6.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{1}{3}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.2.8

Il minimo comune multiplo di $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ è la parte numerica $3$ moltiplicata per la parte variabile.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica per $3 x^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ per $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.3

Moltiplica $x^{\frac{2}{3}}$ per $x^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.3.5

Dividi $3$ per $3$ .

$5 x^{1} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.4

Semplifica $5 x^{1}$ .

$5 x - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nel numeratore.

$5 x + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$5 x + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$5 x - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$5 x - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x - 2 = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 2$

Passaggio 6.4.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 2$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Passaggio 6.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 7.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Passaggio 7.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Passaggio 7.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Passaggio 7.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 x = 0^{3}$

Passaggio 7.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x = 0$

Passaggio 7.3.3

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Passaggio 7.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{2}{5}, 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{2}{5}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{10}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$\frac{10}{9 \frac{2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.2

$9$ e $\frac{2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$10 \frac{5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.4

$10$ e $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(\frac{2}{5})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 \frac{2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 10.1.6

$9$ e $\frac{2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{4}{3}}}}$

Passaggio 10.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + 2 \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.8

$2$ e $\frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot 5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.9

Sposta $2^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{- 1}}$

Passaggio 10.1.10

Moltiplica $2^{\frac{4}{3}}$ per $2^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.10.1

Sposta $2^{- 1}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot (2^{- 1} \cdot 2^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 10.1.10.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{- 1 + \frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.10.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.10.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}}$

Passaggio 10.1.10.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}}$

Passaggio 10.1.10.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.10.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{- 3 + 4}{3}}}$

Passaggio 10.1.10.6.2

Somma $- 3$ e $4$ .

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}} + \frac{5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 10.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}} + 5^{\frac{4}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 11

$x = \frac{2}{5}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{2}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{2}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2}{5}$ nell'espressione.

$f (\frac{2}{5}) = {(\frac{2}{5})}^{\frac{2}{3}} ((\frac{2}{5}) - 1)$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot ((\frac{2}{5}) - 1)$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5})$

Passaggio 12.2.3

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5})$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 5}{5}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2 - 5}{5}$

Passaggio 12.2.5.2

Sottrai $5$ da $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{- 3}{5}$

Passaggio 12.2.6

Combina.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Passaggio 12.2.7

Moltiplica $5^{\frac{2}{3}}$ per $5$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.7.1

Moltiplica $5^{\frac{2}{3}}$ per $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.7.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3}} \cdot 5}$

Passaggio 12.2.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3} + 1}}$

Passaggio 12.2.7.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}$

Passaggio 12.2.7.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{2 + 3}{3}}}$

Passaggio 12.2.7.4

Somma $2$ e $3$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot - 3}{5^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 12.2.8

Sposta $- 3$ alla sinistra di $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 12.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2}{5}) = - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 12.2.10

La risposta finale è $- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$ .

$y = - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{10}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{10}{9 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10}{9 \cdot 0^{1}} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.3

Calcola l'esponente.

$\frac{10}{9 \cdot 0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.4

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{10}{0} + \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 14.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.2.2

La risposta finale è $\frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.2$ , dall'intervallo $(0, \frac{2}{5})$ nella derivata prima $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.2$ nell'espressione.

$f' (0.2) = \frac{5 {(0.2)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1

Eleva $0.2$ alla potenza di $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.2) = \frac{5 \cdot 0.34199518}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.1.2

Moltiplica $5$ per $0.34199518$ .

$f' (0.2) = \frac{1.70997594}{3} - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.1.3

Dividi $1.70997594$ per $3$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{3 {(0.2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.3.2.1.4

Eleva $0.2$ alla potenza di $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{3 \cdot 0.58480354}$

Passaggio 15.3.2.1.5

Moltiplica $3$ per $0.58480354$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - \frac{2}{1.75441064}$

Passaggio 15.3.2.1.6

Dividi $2$ per $1.75441064$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - 1 \cdot 1.13998396$

Passaggio 15.3.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1.13998396$ .

$f' (0.2) = 0.56999198 - 1.13998396$

Passaggio 15.3.2.2

Sottrai $1.13998396$ da $0.56999198$ .

$f' (0.2) = - 0.56999198$

Passaggio 15.3.2.3

La risposta finale è $- 0.56999198$ .

$- 0.56999198$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dall'intervallo $(\frac{2}{5}, \infty)$ nella derivata prima $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = \frac{5 {(3)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1

Sposta ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f' (3) = \frac{5}{3 \cdot 3^{- \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $3^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{- \frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3 \cdot 3^{- \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = \frac{5}{3^{1 - \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{3 - 2}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.2.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.3

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3 {(3)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.1.3.4

Somma $3$ e $1$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.2

Per scrivere $\frac{5}{3^{\frac{1}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{5}{3^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3^{\frac{4}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{5}{3^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{3}{3}}}$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.3.2

Moltiplica $3^{\frac{1}{3}}$ per $3^{\frac{3}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.3.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{1 + 3}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.3.2.3

Somma $1$ e $3$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}} - \frac{2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{3}} - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.5.1

Dividi $3$ per $3$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.5.2

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.5.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f' (3) = \frac{15 - 2}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.5.4

Sottrai $2$ da $15$ .

$f' (3) = \frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.4.2.6

La risposta finale è $\frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{13}{3^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 15.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 15.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{2}{5}$ , allora $x = \frac{2}{5}$ è un minimo locale.

$x = \frac{2}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 15.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{\frac{2}{3}} (x - 1)$ .

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \frac{2}{5}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \frac{2}{5}$ è un minimo locale

Passaggio 16