Calcolo Esempi

$y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ come funzione.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(\frac{x}{2} - 5)}^{4}] + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2} - 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2} - 5$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 5]) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{1}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6.2

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$x (\frac{4}{2} {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6.3

$\frac{4}{2}$ e ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$x \frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.4.1

Scomponi $2$ da $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$x \frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.6.4.2.4

Dividi $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ per $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ per $1$ .

$x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Riordina $x$ e $2$ .

$2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 2.4.1.2

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 2.4.1.3

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 2.4.1.4

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Per scrivere $2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 2.4.2.2

$2 x$ e $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 2.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Passaggio 2.4.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Passaggio 2.4.2.5

Somma $4 x$ e $x$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ e $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 x}{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 3.2.2

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 3.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Somma $\frac{5}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 3.2.6.2

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ e $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 3.2.6.3

Sposta $5$ alla sinistra di ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $3$ alla sinistra di $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Passaggio 3.4.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Passaggio 3.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

Passaggio 3.4.6

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Passaggio 3.4.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.4.7.2

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

Passaggio 3.4.7.3

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Passaggio 3.4.7.4

Sposta $3$ alla sinistra di ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Passaggio 3.5

Per scrivere $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.6

$\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.8

$2$ e $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 3.10

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Scomponi $2$ da $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 3.10.2.4

Dividi $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ da $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1.1

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ da $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 3.11.1.1.2

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ da $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Passaggio 3.11.1.1.3

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ da ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Passaggio 3.11.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Passaggio 3.11.1.3

$5$ e $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Passaggio 3.11.1.4

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Passaggio 3.11.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

Passaggio 3.11.1.6

Moltiplica $3 \frac{5 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.6.1

$3$ e $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Passaggio 3.11.1.6.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Passaggio 3.11.1.7

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

Passaggio 3.11.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

Passaggio 3.11.1.9

Sottrai $15$ da $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.10

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.11

$- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.13

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.14

Somma $5 x$ e $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.15

Elimina il fattore comune di $20$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.15.1

Scomponi $2$ da $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.15.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.15.2.4

Dividi $10 x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.16

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 10}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.17

Scomponi $10$ da $10 x - 40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.17.1

Scomponi $10$ da $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

Passaggio 3.11.1.17.2

Scomponi $10$ da $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

Passaggio 3.11.1.17.3

Scomponi $10$ da $10 x + 10 \cdot - 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

Passaggio 3.11.1.18

$\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ e $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 3.11.1.19

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 3.11.1.20

Elimina il fattore comune di $10$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.20.1

Scomponi $2$ da ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 3.11.1.20.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.20.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 3.11.1.20.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 3.11.1.20.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 3.11.1.21

Sposta $5$ alla sinistra di ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 3.11.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

Passaggio 3.11.3

Scomponi $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ da $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

Passaggio 3.11.4

Moltiplica $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1

Moltiplica $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ per $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.11.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.6.1

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.6.2

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.6.3

$\frac{4}{2}$ e ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.6.4.1

Scomponi $2$ da $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.6.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.6.4.2.4

Dividi $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 5.1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.8

Moltiplica ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ per $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1.1

Riordina $x$ e $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 5.1.4.1.2

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 5.1.4.1.3

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 5.1.4.1.4

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 5.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1

Per scrivere $2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 5.1.4.2.2

$2 x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 5.1.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Passaggio 5.1.4.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Passaggio 5.1.4.2.5

Somma $4 x$ e $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$

Passaggio 6.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

Passaggio 6.3

Imposta ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Imposta ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$

Passaggio 6.3.2

Risolvi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Poni $\frac{x}{2} - 5$ uguale a $0$ .

$\frac{x}{2} - 5 = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x}{2} = 5$

Passaggio 6.3.2.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.2.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.2.2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \cdot 5$

Passaggio 6.3.2.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = 10$

Passaggio 6.4

Imposta $\frac{5 x}{2} - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $\frac{5 x}{2} - 5$ uguale a $0$ .

$\frac{5 x}{2} - 5 = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $\frac{5 x}{2} - 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{5 x}{2} = 5$

Passaggio 6.4.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

Passaggio 6.4.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1.1

Semplifica $\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x}{2} = \frac{2}{5} \cdot 5$

Passaggio 6.4.2.3.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Passaggio 6.4.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.1.1.2.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Passaggio 6.4.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{2}{5} \cdot 5$

Passaggio 6.4.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

Passaggio 6.4.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2}{5} \cdot 5$

Passaggio 6.4.2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2$

Passaggio 6.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5) = 0$ vera.

$x = 10, 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 10, 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 10$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)}{4}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune di $(10) - 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Scomponi $2$ da $5 {((10) - 10)}^{2} ((10) - 4)$ .

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{4}$

Passaggio 10.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 (2)}$

Passaggio 10.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2))}{2 \cdot 2}$

Passaggio 10.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 {((10) - 10)}^{2} (5 - 2)}{2}$

Passaggio 10.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $10$ da $10$ .

$\frac{5 \cdot 0^{2} (5 - 2)}{2}$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{5 \cdot 0^{2} \cdot 3}{2}$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{15 \cdot 0^{2}}{2}$

Passaggio 10.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{15 \cdot 0}{2}$

Passaggio 10.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $15$ per $0$ .

$\frac{0}{2}$

Passaggio 10.3.2

Dividi $0$ per $2$ .

$0$

Passaggio 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

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Passaggio 11.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 2) \cup (2, 10) \cup (10, \infty)$

Passaggio 11.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- \infty, 2)$ nella derivata prima ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 11.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = {(\frac{0}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.2.2.1

Dividi $0$ per $2$ .

$f' (0) = {(0 - 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$f' (0) = {(- 5)}^{3} (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Passaggio 11.2.2.3

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$f' (0) = - 125 (\frac{5 (0)}{2} - 5)$

Passaggio 11.2.2.4

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f' (0) = - 125 (\frac{0}{2} - 5)$

Passaggio 11.2.2.5

Dividi $0$ per $2$ .

$f' (0) = - 125 (0 - 5)$

Passaggio 11.2.2.6

Sottrai $5$ da $0$ .

$f' (0) = - 125 \cdot - 5$

Passaggio 11.2.2.7

Moltiplica $- 125$ per $- 5$ .

$f' (0) = 625$

Passaggio 11.2.2.8

La risposta finale è $625$ .

$625$

Passaggio 11.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dall'intervallo $(2, 10)$ nella derivata prima ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 11.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = {(\frac{6}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.3.2.1

Dividi $6$ per $2$ .

$f' (6) = {(3 - 5)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Passaggio 11.3.2.2

Sottrai $5$ da $3$ .

$f' (6) = {(- 2)}^{3} (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Passaggio 11.3.2.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (6) = - 8 (\frac{5 (6)}{2} - 5)$

Passaggio 11.3.2.4

Moltiplica $5$ per $6$ .

$f' (6) = - 8 (\frac{30}{2} - 5)$

Passaggio 11.3.2.5

Dividi $30$ per $2$ .

$f' (6) = - 8 (15 - 5)$

Passaggio 11.3.2.6

Sottrai $5$ da $15$ .

$f' (6) = - 8 \cdot 10$

Passaggio 11.3.2.7

Moltiplica $- 8$ per $10$ .

$f' (6) = - 80$

Passaggio 11.3.2.8

La risposta finale è $- 80$ .

$- 80$

Passaggio 11.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $12$ , dall'intervallo $(10, \infty)$ nella derivata prima ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 11.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $12$ nell'espressione.

$f' (12) = {(\frac{12}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Passaggio 11.4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.4.2.1

Dividi $12$ per $2$ .

$f' (12) = {(6 - 5)}^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Passaggio 11.4.2.2

Sottrai $5$ da $6$ .

$f' (12) = 1^{3} (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Passaggio 11.4.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (12) = 1 (\frac{5 (12)}{2} - 5)$

Passaggio 11.4.2.4

Moltiplica $\frac{5 (12)}{2} - 5$ per $1$ .

$f' (12) = \frac{5 (12)}{2} - 5$

Passaggio 11.4.2.5

Moltiplica $5$ per $12$ .

$f' (12) = \frac{60}{2} - 5$

Passaggio 11.4.2.6

Dividi $60$ per $2$ .

$f' (12) = 30 - 5$

Passaggio 11.4.2.7

Sottrai $5$ da $30$ .

$f' (12) = 25$

Passaggio 11.4.2.8

La risposta finale è $25$ .

$25$

Passaggio 11.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 2$ , allora $x = 2$ è un massimo locale.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 11.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 10$ , allora $x = 10$ è un minimo locale.

$x = 10$ è un minimo locale

Passaggio 11.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$x = 2$ è un massimo locale

$x = 10$ è un minimo locale

$x = 2$ è un massimo locale

$x = 10$ è un minimo locale

Passaggio 12