Calcolo Esempi

$\frac{x^{3}}{3} - 9 x$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{3}}{3} - 9 x$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 9 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} - 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} - 9 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$x^{2} - 9$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 9)$

Passaggio 3.3

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 0$

Passaggio 3.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 x$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{3}}{3} - 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Passaggio 5.1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Passaggio 5.1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Passaggio 5.1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Passaggio 5.1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 9 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 9$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} - 9$ .

$x^{2} - 9$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} - 9 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 9$

Passaggio 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 6.4

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 6.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 6.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 6.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 6.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 3, - 3$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 (3)$

Passaggio 10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6$

Passaggio 11

$x = 3$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{{(3)}^{3}}{3} - 9 \cdot 3$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(3)}^{3}$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1.1

Scomponi $3$ da ${(3)}^{3}$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3^{2}}{3} - 9 \cdot 3$

Passaggio 12.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 3^{2}}{3 (1)} - 9 \cdot 3$

Passaggio 12.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (3) = \frac{3 \cdot 3^{2}}{3 \cdot 1} - 9 \cdot 3$

Passaggio 12.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (3) = \frac{3^{2}}{1} - 9 \cdot 3$

Passaggio 12.2.1.1.2.4

Dividi $3^{2}$ per $1$ .

$f (3) = 3^{2} - 9 \cdot 3$

Passaggio 12.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 9 - 9 \cdot 3$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$f (3) = 9 - 27$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $27$ da $9$ .

$f (3) = - 18$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 18$ .

$y = - 18$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 (- 3)$

Passaggio 14

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 6$

Passaggio 15

$x = - 3$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 3$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 3)}^{3}$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1 \cdot 3)}^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (3)$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 3^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{3}}{3} - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2.1.1.4

Scomponi $3$ da $- 1 \cdot 3^{3}$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3} - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2.1.1.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.5.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 (1)} - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2.1.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 3) = \frac{3 (- 1 \cdot 3^{2})}{3 \cdot 1} - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2.1.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 3) = \frac{- 1 \cdot 3^{2}}{1} - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2.1.1.5.4

Dividi $- 1 \cdot 3^{2}$ per $1$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 3^{2} - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot 3^{2}$ come $- 3^{2}$ .

$f (- 3) = - 3^{2} - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (- 3) = - 9 - 9 \cdot - 3$

Passaggio 16.2.1.5

Moltiplica $- 9$ per $- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 27$

Passaggio 16.2.2

Somma $- 9$ e $27$ .

$f (- 3) = 18$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $18$ .

$y = 18$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 9 x$ .

$(3, - 18)$ è un minimo locale

$(- 3, 18)$ è un massimo locale

Passaggio 18