Calcolo Esempi

$(x - 5) (x + 1) (x + 5)$

Passaggio 1

Scrivi $(x - 5) (x + 1) (x + 5)$ come funzione.

$f (x) = (x - 5) (x + 1) (x + 5)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = (x - 5) (x + 1)$ e $g (x) = x + 5$ .

$(x - 5) (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 1)]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(x - 5) (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 1)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 1)]$

Passaggio 2.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 5) (x + 1) (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 1)]$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 5) (x + 1) \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 1)]$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 1)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 5$ e $g (x) = x + 1$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) ((x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) ((x - 5) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) ((x - 5) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Passaggio 2.4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Passaggio 2.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Passaggio 2.4.7

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + (x + 1) (1 + 0))$

Passaggio 2.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + (x + 1) \cdot 1)$

Passaggio 2.4.8.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + x + 1)$

Passaggio 2.4.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) (2 x - 5 + 1)$

Passaggio 2.4.8.4

Somma $- 5$ e $1$ .

$(x - 5) (x + 1) + (x + 5) (2 x - 4)$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 5) x + (x - 5) \cdot 1 + (x + 5) (2 x - 4)$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x - 5 x + (x - 5) \cdot 1 + (x + 5) (2 x - 4)$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + (x + 5) (2 x - 4)$

Passaggio 2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + (x + 5) (2 x) + (x + 5) \cdot - 4$

Passaggio 2.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + (x + 5) \cdot - 4$

Passaggio 2.5.6

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.7.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{1} - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 1} - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.4

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x^{2} - 5 x + x - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.6

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$x^{2} - 5 x + x - 5 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.7

Somma $- 5 x$ e $x$ .

$x^{2} - 4 x - 5 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} - 4 x - 5 + 2 (x^{1} x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} - 4 x - 5 + 2 (x^{1} x^{1}) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{1 + 1} + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.11

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{2} + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.12

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{2} + 10 x + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.13

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{2} + 10 x - 4 \cdot x + 5 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.7.14

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{2} + 10 x - 4 x - 20$

Passaggio 2.5.7.15

Sottrai $4 x$ da $10 x$ .

$x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{2} + 6 x - 20$

Passaggio 2.5.7.16

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 4 x - 5 + 6 x - 20$

Passaggio 2.5.7.17

Somma $- 4 x$ e $6 x$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 - 20$

Passaggio 2.5.7.18

Sottrai $20$ da $- 5$ .

$3 x^{2} + 2 x - 25$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 2 x - 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 25)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 25)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 25)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 25)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 25)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 25)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 25)$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $6 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} + 2 x - 25 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) \frac{d}{d x} (x + 5) + (x + 5) \frac{d}{d x} ((x - 5) (x + 1))$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)) + (x + 5) \frac{d}{d x} ((x - 5) (x + 1))$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (5)) + (x + 5) \frac{d}{d x} ((x - 5) (x + 1))$

Passaggio 5.1.2.3

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} ((x - 5) (x + 1))$

Passaggio 5.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} ((x - 5) (x + 1))$

Passaggio 5.1.2.4.2

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) \frac{d}{d x} ((x - 5) (x + 1))$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 5$ e $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) ((x - 5) \frac{d}{d x} (x + 1) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 5))$

Passaggio 5.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 5))$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (1)) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 5))$

Passaggio 5.1.4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) ((x - 5) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 5))$

Passaggio 5.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) ((x - 5) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 5))$

Passaggio 5.1.4.4.2

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 5))$

Passaggio 5.1.4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)))$

Passaggio 5.1.4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)))$

Passaggio 5.1.4.7

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + (x + 1) (1 + 0))$

Passaggio 5.1.4.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + (x + 1) \cdot 1)$

Passaggio 5.1.4.8.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) (x - 5 + x + 1)$

Passaggio 5.1.4.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) (2 x - 5 + 1)$

Passaggio 5.1.4.8.4

Somma $- 5$ e $1$ .

$f' (x) = (x - 5) (x + 1) + (x + 5) (2 x - 4)$

Passaggio 5.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (x - 5) x + (x - 5) \cdot 1 + (x + 5) (2 x - 4)$

Passaggio 5.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x \cdot x - 5 x + (x - 5) \cdot 1 + (x + 5) (2 x - 4)$

Passaggio 5.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x \cdot x - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + (x + 5) (2 x - 4)$

Passaggio 5.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x \cdot x - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + (x + 5) (2 x) + (x + 5) \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x \cdot x - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + (x + 5) \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.6

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x \cdot x - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.7.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x \cdot x - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x \cdot x - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{1 + 1} - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 5 x + x \cdot 1 - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 5 x + x - 5 \cdot 1 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.6

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 5 x + x - 5 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.7

Somma $- 5 x$ e $x$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5 + x (2 x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5 + 2 (x \cdot x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5 + 2 (x \cdot x) + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{1 + 1} + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.11

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{2} + 5 (2 x) + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.12

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{2} + 10 x + x \cdot - 4 + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.13

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{2} + 10 x - 4 \cdot x + 5 \cdot - 4$

Passaggio 5.1.5.7.14

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{2} + 10 x - 4 x - 20$

Passaggio 5.1.5.7.15

Sottrai $4 x$ da $10 x$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 5 + 2 x^{2} + 6 x - 20$

Passaggio 5.1.5.7.16

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 5 + 6 x - 20$

Passaggio 5.1.5.7.17

Somma $- 4 x$ e $6 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 - 20$

Passaggio 5.1.5.7.18

Sottrai $20$ da $- 5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 25$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 2 x - 25$ .

$3 x^{2} + 2 x - 25$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 2 x - 25 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 25 = 0$

Passaggio 6.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.3

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = 2$ e $c = - 25$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 25)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 25}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 25}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 25$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 300}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.3

Somma $4$ e $300$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{304}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.4

Riscrivi $304$ come $4^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.4.1

Scomponi $16$ da $304$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 (19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 6.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 25}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 25}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 25$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 300}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.3

Somma $4$ e $300$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{304}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.4

Riscrivi $304$ come $4^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.4.1

Scomponi $16$ da $304$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 (19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.5.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.5.6

Scomponi $- 1$ da $2 \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 2 \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 6.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- 2 \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - 2 \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 6.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 25}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 25}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 25$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 300}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.3

Somma $4$ e $300$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{304}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.4

Riscrivi $304$ come $4^{2} \cdot 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.4.1

Scomponi $16$ da $304$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 (19)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$

Passaggio 6.6.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 4 \sqrt{19}}{6}$ .

$x = \frac{- 1 \pm 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.6.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.6.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 6.6.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (2 \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + 2 \sqrt{19})}{3}$

Passaggio 6.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 6.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}, - \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}, - \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 2$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}$ nel numeratore.

$6 \frac{- (1 - 2 \sqrt{19})}{3} + 2$

Passaggio 10.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{- (1 - 2 \sqrt{19})}{3} + 2$

Passaggio 10.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{- (1 - 2 \sqrt{19})}{3} + 2$

Passaggio 10.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (- (1 - 2 \sqrt{19})) + 2$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (1 - 2 \sqrt{19}) + 2$

Passaggio 10.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sqrt{19}) + 2$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 - 2 (- 2 \sqrt{19}) + 2$

Passaggio 10.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$- 2 + 4 \sqrt{19} + 2$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$0 + 4 \sqrt{19}$

Passaggio 10.2.2

Somma $0$ e $4 \sqrt{19}$ .

$4 \sqrt{19}$

Passaggio 11

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) - 5) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

$- 5$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (1 - 2 \sqrt{19}) - 5 \cdot 3}{3} \cdot (((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 12.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 2 \sqrt{19}) - 5 \cdot 3}{3} \cdot (((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 12.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 - (- 2 \sqrt{19}) - 5 \cdot 3}{3} \cdot (((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 12.2.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 + 2 \sqrt{19} - 5 \cdot 3}{3} \cdot (((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 12.2.3.4

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 + 2 \sqrt{19} - 15}{3} \cdot (((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 12.2.3.5

Sottrai $15$ da $- 1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 + 2 \sqrt{19}}{3} \cdot (((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 12.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.4.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 + 2 \sqrt{19}}{3} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3} + \frac{3}{3}) ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 12.2.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 + 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{- (1 - 2 \sqrt{19}) + 3}{3} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 + 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 - (- 2 \sqrt{19}) + 3}{3} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 + 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{- 1 - (- 2 \sqrt{19}) + 3}{3} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.5.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 + 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{- 1 + 2 \sqrt{19} + 3}{3} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.5.4

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 + 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{2 + 2 \sqrt{19}}{3} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.6

Moltiplica $\frac{- 16 + 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{2 + 2 \sqrt{19}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.6.1

Moltiplica $\frac{- 16 + 2 \sqrt{19}}{3}$ per $\frac{2 + 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{(- 16 + 2 \sqrt{19}) (2 + 2 \sqrt{19})}{3 \cdot 3} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.6.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{(- 16 + 2 \sqrt{19}) (2 + 2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.7

Espandi $(- 16 + 2 \sqrt{19}) (2 + 2 \sqrt{19})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 (2 + 2 \sqrt{19}) + 2 \sqrt{19} (2 + 2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 \cdot 2 - 16 (2 \sqrt{19}) + 2 \sqrt{19} (2 + 2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 \cdot 2 - 16 (2 \sqrt{19}) + 2 \sqrt{19} \cdot 2 + 2 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.8.1.1

Moltiplica $- 16$ per $2$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 16 (2 \sqrt{19}) + 2 \sqrt{19} \cdot 2 + 2 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.2

Moltiplica $2$ per $- 16$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} \cdot 2 + 2 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 2 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.4

Moltiplica $2 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.8.1.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.4.2

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 4 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.4.3

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 4 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 4 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 4 {\sqrt{19}}^{2}}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.5

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.8.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 4 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.8.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 4 \cdot 19}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 4 \cdot 19}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.1.6

Moltiplica $4$ per $19$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} + 76}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.2

Somma $- 32$ e $76$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 - 32 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19}}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.8.3

Somma $- 32 \sqrt{19}$ e $4 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 - 28 \sqrt{19}}{9} \cdot ((- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 12.2.9

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 - 28 \sqrt{19}}{9} \cdot (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 12.2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.10.1

$5$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 - 28 \sqrt{19}}{9} \cdot (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3})$

Passaggio 12.2.10.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 - 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{- (1 - 2 \sqrt{19}) + 5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 - 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 - (- 2 \sqrt{19}) + 5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 - 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{- 1 - (- 2 \sqrt{19}) + 5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.11.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 - 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{- 1 + 2 \sqrt{19} + 5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.11.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 - 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{- 1 + 2 \sqrt{19} + 15}{3}$

Passaggio 12.2.11.5

Somma $- 1$ e $15$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 - 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{14 + 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 12.2.12

Moltiplica $\frac{44 - 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{14 + 2 \sqrt{19}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.12.1

Moltiplica $\frac{44 - 28 \sqrt{19}}{9}$ per $\frac{14 + 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{(44 - 28 \sqrt{19}) (14 + 2 \sqrt{19})}{9 \cdot 3}$

Passaggio 12.2.12.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{(44 - 28 \sqrt{19}) (14 + 2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 12.2.13

Espandi $(44 - 28 \sqrt{19}) (14 + 2 \sqrt{19})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 (14 + 2 \sqrt{19}) - 28 \sqrt{19} (14 + 2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 12.2.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 \cdot 14 + 44 (2 \sqrt{19}) - 28 \sqrt{19} (14 + 2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 12.2.13.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 \cdot 14 + 44 (2 \sqrt{19}) - 28 \sqrt{19} \cdot 14 - 28 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 12.2.14

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.14.1.1

Moltiplica $44$ per $14$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 44 (2 \sqrt{19}) - 28 \sqrt{19} \cdot 14 - 28 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.2

Moltiplica $2$ per $44$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 28 \sqrt{19} \cdot 14 - 28 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.3

Moltiplica $14$ per $- 28$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 28 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.4

Moltiplica $- 28 \sqrt{19} (2 \sqrt{19})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.14.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 28$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 56 \sqrt{19} \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.4.2

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 56 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.4.3

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 56 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 56 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 56 {\sqrt{19}}^{2}}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.5

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.14.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 56 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 56 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 56 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.14.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 56 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 56 \cdot 19}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 56 \cdot 19}{27}$

Passaggio 12.2.14.1.6

Moltiplica $- 56$ per $19$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19} - 1064}{27}$

Passaggio 12.2.14.2

Sottrai $1064$ da $616$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 448 + 88 \sqrt{19} - 392 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 12.2.14.3

Sottrai $392 \sqrt{19}$ da $88 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 448 - 304 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 12.2.15

Riscrivi $- 448$ come $- 1 (448)$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 448 - 304 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 12.2.16

Scomponi $- 1$ da $- 304 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 448 - (304 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 12.2.17

Scomponi $- 1$ da $- 1 (448) - (304 \sqrt{19})$ .

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (448 + 304 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 12.2.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{448 + 304 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 12.2.19

La risposta finale è $- \frac{448 + 304 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{448 + 304 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 2$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}$ nel numeratore.

$6 \frac{- (1 + 2 \sqrt{19})}{3} + 2$

Passaggio 14.1.1.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$3 (2) \frac{- (1 + 2 \sqrt{19})}{3} + 2$

Passaggio 14.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2 \frac{- (1 + 2 \sqrt{19})}{3} + 2$

Passaggio 14.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (- (1 + 2 \sqrt{19})) + 2$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (1 + 2 \sqrt{19}) + 2$

Passaggio 14.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 \sqrt{19}) + 2$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 - 2 (2 \sqrt{19}) + 2$

Passaggio 14.1.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 2 - 4 \sqrt{19} + 2$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$0 - 4 \sqrt{19}$

Passaggio 14.2.2

Sottrai $4 \sqrt{19}$ da $0$ .

$- 4 \sqrt{19}$

Passaggio 15

$x = - \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) - 5) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

$- 5$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (1 + 2 \sqrt{19}) - 5 \cdot 3}{3} \cdot (((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 16.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \sqrt{19}) - 5 \cdot 3}{3} \cdot (((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 16.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 - (2 \sqrt{19}) - 5 \cdot 3}{3} \cdot (((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 16.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 - 2 \sqrt{19} - 5 \cdot 3}{3} \cdot (((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 16.2.3.4

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 - 2 \sqrt{19} - 15}{3} \cdot (((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 16.2.3.5

Sottrai $15$ da $- 1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 - 2 \sqrt{19}}{3} \cdot (((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 1) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 16.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.4.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 - 2 \sqrt{19}}{3} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3} + \frac{3}{3}) ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5))$

Passaggio 16.2.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 - 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{- (1 + 2 \sqrt{19}) + 3}{3} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 - 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \sqrt{19}) + 3}{3} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 - 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{- 1 - (2 \sqrt{19}) + 3}{3} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 - 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{- 1 - 2 \sqrt{19} + 3}{3} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.5.4

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 - 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{2 - 2 \sqrt{19}}{3} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.6

Moltiplica $\frac{- 16 - 2 \sqrt{19}}{3} \cdot \frac{2 - 2 \sqrt{19}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.6.1

Moltiplica $\frac{- 16 - 2 \sqrt{19}}{3}$ per $\frac{2 - 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{(- 16 - 2 \sqrt{19}) (2 - 2 \sqrt{19})}{3 \cdot 3} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.6.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{(- 16 - 2 \sqrt{19}) (2 - 2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.7

Espandi $(- 16 - 2 \sqrt{19}) (2 - 2 \sqrt{19})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 (2 - 2 \sqrt{19}) - 2 \sqrt{19} (2 - 2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 \cdot 2 - 16 (- 2 \sqrt{19}) - 2 \sqrt{19} (2 - 2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 16 \cdot 2 - 16 (- 2 \sqrt{19}) - 2 \sqrt{19} \cdot 2 - 2 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.8.1.1

Moltiplica $- 16$ per $2$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 - 16 (- 2 \sqrt{19}) - 2 \sqrt{19} \cdot 2 - 2 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 16$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} \cdot 2 - 2 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} - 2 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.4

Moltiplica $- 2 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.8.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 4 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.4.2

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 4 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.4.3

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 4 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 4 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 4 {\sqrt{19}}^{2}}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.5

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.8.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 4 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.8.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 4 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 4 \cdot 19}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 4 \cdot 19}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.1.6

Moltiplica $4$ per $19$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 32 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19} + 76}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.2

Somma $- 32$ e $76$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 + 32 \sqrt{19} - 4 \sqrt{19}}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.8.3

Sottrai $4 \sqrt{19}$ da $32 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 + 28 \sqrt{19}}{9} \cdot ((- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) + 5)$

Passaggio 16.2.9

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 + 28 \sqrt{19}}{9} \cdot (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 16.2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.10.1

$5$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 + 28 \sqrt{19}}{9} \cdot (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3})$

Passaggio 16.2.10.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 + 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{- (1 + 2 \sqrt{19}) + 5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 16.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 + 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 - (2 \sqrt{19}) + 5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 16.2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 + 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{- 1 - (2 \sqrt{19}) + 5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 16.2.11.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 + 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{- 1 - 2 \sqrt{19} + 5 \cdot 3}{3}$

Passaggio 16.2.11.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 + 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{- 1 - 2 \sqrt{19} + 15}{3}$

Passaggio 16.2.11.5

Somma $- 1$ e $15$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 + 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{14 - 2 \sqrt{19}}{3}$

Passaggio 16.2.12

Moltiplica $\frac{44 + 28 \sqrt{19}}{9} \cdot \frac{14 - 2 \sqrt{19}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.12.1

Moltiplica $\frac{44 + 28 \sqrt{19}}{9}$ per $\frac{14 - 2 \sqrt{19}}{3}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{(44 + 28 \sqrt{19}) (14 - 2 \sqrt{19})}{9 \cdot 3}$

Passaggio 16.2.12.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{(44 + 28 \sqrt{19}) (14 - 2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 16.2.13

Espandi $(44 + 28 \sqrt{19}) (14 - 2 \sqrt{19})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 (14 - 2 \sqrt{19}) + 28 \sqrt{19} (14 - 2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 16.2.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 \cdot 14 + 44 (- 2 \sqrt{19}) + 28 \sqrt{19} (14 - 2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 16.2.13.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{44 \cdot 14 + 44 (- 2 \sqrt{19}) + 28 \sqrt{19} \cdot 14 + 28 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 16.2.14

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.14.1.1

Moltiplica $44$ per $14$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 + 44 (- 2 \sqrt{19}) + 28 \sqrt{19} \cdot 14 + 28 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.2

Moltiplica $- 2$ per $44$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 28 \sqrt{19} \cdot 14 + 28 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.3

Moltiplica $14$ per $28$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} + 28 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.4

Moltiplica $28 \sqrt{19} (- 2 \sqrt{19})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.14.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $28$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 56 \sqrt{19} \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.4.2

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 56 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.4.3

Eleva $\sqrt{19}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 56 (\sqrt{19} \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 56 {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 56 {\sqrt{19}}^{2}}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.5

Riscrivi ${\sqrt{19}}^{2}$ come $19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.14.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{19}$ come $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 56 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 56 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 56 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.14.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 56 \cdot 19^{\frac{2}{2}}}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 56 \cdot 19}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 56 \cdot 19}{27}$

Passaggio 16.2.14.1.6

Moltiplica $- 56$ per $19$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{616 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19} - 1064}{27}$

Passaggio 16.2.14.2

Sottrai $1064$ da $616$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 448 - 88 \sqrt{19} + 392 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 16.2.14.3

Somma $- 88 \sqrt{19}$ e $392 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 448 + 304 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 16.2.15

Riscrivi $- 448$ come $- 1 (448)$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 448 + 304 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 16.2.16

Scomponi $- 1$ da $304 \sqrt{19}$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 448 - (- 304 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 16.2.17

Scomponi $- 1$ da $- 1 (448) - (- 304 \sqrt{19})$ .

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (448 - 304 \sqrt{19})}{27}$

Passaggio 16.2.18

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}) = - \frac{448 - 304 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 16.2.19

La risposta finale è $- \frac{448 - 304 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{448 - 304 \sqrt{19}}{27}$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = (x - 5) (x + 1) (x + 5)$ .

$(- \frac{1 - 2 \sqrt{19}}{3}, - \frac{448 + 304 \sqrt{19}}{27})$ è un minimo locale

$(- \frac{1 + 2 \sqrt{19}}{3}, - \frac{448 - 304 \sqrt{19}}{27})$ è un massimo locale

Passaggio 18