Calcolo Esempi

$4 x y - x^{2} y - x y^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ come funzione.

$f (x) = 4 x y - x^{2} y - x y^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x y$ rispetto a $x$ è $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 y + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2} y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 y - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 y - y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 y - 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y^{2}$ rispetto a $x$ è $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y - 2 y x - y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 y - 2 y x - y^{2} \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 y - 2 y x - y^{2}$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$- y^{2} - 2 x y + 4 y$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- y^{2} - 2 x y + 4 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y)$

Passaggio 3.1.2

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 x y) + \frac{d}{d x} (4 y)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x y$ rispetto a $x$ è $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4 y)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y + \frac{d}{d x} (4 y)$

Passaggio 3.3

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 y + 0$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $2 y$ da $0$ .

$f'' (x) = - 2 y + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $- 2 y$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 y$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x y - x^{2} y - x y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x y) + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x y$ rispetto a $x$ è $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 y \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = 4 y + \frac{d}{d x} (- x^{2} y) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2} y$ rispetto a $x$ è $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 y - y \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 y - y (2 x) + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x + \frac{d}{d x} (- x y^{2})$

Passaggio 5.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y^{2}$ rispetto a $x$ è $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2} \frac{d}{d x} x$

Passaggio 5.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2} \cdot 1$

Passaggio 5.1.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = 4 y - 2 y x - y^{2}$

Passaggio 5.1.5

Riordina i termini.

$f' (x) = - y^{2} - 2 x y + 4 y$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- y^{2} - 2 x y + 4 y$ .

$- y^{2} - 2 x y + 4 y$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- y^{2} - 2 x y + 4 y = 0$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x y + 4 y = y^{2}$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x y = y^{2} - 4 y$

Passaggio 6.3

Dividi per $- 2 y$ ciascun termine in $- 2 x y = y^{2} - 4 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $- 2 y$ ciascun termine in $- 2 x y = y^{2} - 4 y$ .

$\frac{- 2 x y}{- 2 y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x y}{- 2 y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y}{y} = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{- 2 y} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1.2.1

Scomponi $y$ da $- 2 y$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot - 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot - 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{y}{- 2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 4 y}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.3.1

Scomponi $- 2$ da $- 4 y$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.3.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 y$ .

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 (y)}$

Passaggio 6.3.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{- 2 (2 y)}{- 2 y}$

Passaggio 6.3.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 y}{y}$

Passaggio 6.3.3.1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{y}{2} + \frac{2 y}{y}$

Passaggio 6.3.3.1.4.2

Dividi $2$ per $1$ .

$x = - \frac{y}{2} + 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{y}{2} + 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{y}{2} + 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 y$

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11