Calcolo Esempi

$3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ come funzione.

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.4.2

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Passaggio 2.4.2.2

Scomponi $3 \sin (x)$ da $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Passaggio 2.4.2.3

Scomponi $3 \sin (x)$ da $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Passaggio 2.4.3

Riordina $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Passaggio 2.4.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 2.4.5

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Passaggio 2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Passaggio 2.4.7

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ come $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Passaggio 2.4.8

Applica l'identità pitagorica.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.4.9

Moltiplica $\sin (x)$ per $\sin^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.9.1

Sposta $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Passaggio 2.4.9.2

Moltiplica $\sin^{2} (x)$ per $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.9.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

Passaggio 2.4.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Passaggio 2.4.9.3

Somma $2$ e $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Passaggio 2.4.10

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin^{3} (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Passaggio 3.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Passaggio 3.4

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Passaggio 5

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\sin^{3} (x)$ per $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Dividi $0$ per $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Passaggio 6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 7

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 7.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$\sin (x) = 0$

Passaggio 8

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 9

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 10

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 11

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 12

La soluzione dell'equazione $x = 0$ .

$x = 0, π$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 14.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

Passaggio 14.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

Passaggio 14.3

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$0 \cos (0)$

Passaggio 14.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 14.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

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Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- 3 \sin^{3} (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Calcola $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

Passaggio 15.2.2.2

Eleva $- 0.90929742$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

Passaggio 15.2.2.3

Moltiplica $- 3$ per $- 0.75182694$ .

$f' (- 2) = 2.25548083$

Passaggio 15.2.2.4

La risposta finale è $2.25548083$ .

$2.25548083$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, π)$ nella derivata prima $- 3 \sin^{3} (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Calcola $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

Passaggio 15.3.2.2

Eleva $0.90929742$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

Passaggio 15.3.2.3

Moltiplica $- 3$ per $0.75182694$ .

$f' (2) = - 2.25548083$

Passaggio 15.3.2.4

La risposta finale è $- 2.25548083$ .

$- 2.25548083$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(π, \infty)$ nella derivata prima $- 3 \sin^{3} (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Calcola $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

Passaggio 15.4.2.2

Eleva $- 0.27941549$ alla potenza di $3$ .

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

Passaggio 15.4.2.3

Moltiplica $- 3$ per $- 0.02181481$ .

$f' (6) = 0.06544443$

Passaggio 15.4.2.4

La risposta finale è $0.06544443$ .

$0.06544443$

Passaggio 15.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 15.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = π$ , allora $x = π$ è un minimo locale.

$x = π$ è un minimo locale

Passaggio 15.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ .

$x = 0$ è un massimo locale

$x = π$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = π$ è un minimo locale

Passaggio 16