Calcolo Esempi

$f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [a x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x^{3}$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $a$ .

$3 a x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 a x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 a x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 a x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2 + 0$

Passaggio 1.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Somma $3 a x^{2} + 4 x + 2$ e $0$ .

$3 a x^{2} + 4 x + 2$

Passaggio 1.1.6.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 3 x^{2} a + 4 x + 2$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} a + 4 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} a] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2} a]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $3 a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} a$ rispetto a $x$ è $3 a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 a (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 a x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 a x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 a x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$6 a x + 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 a x + 4 + 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $6 a x + 4$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 a x + 4$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 a x + 4$ .

$6 a x + 4$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $6 a x + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$6 a x + 4 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 a x = - 4$

Passaggio 2.3

Dividi per $6 a$ ciascun termine in $6 a x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $6 a$ ciascun termine in $6 a x = - 4$ .

$\frac{6 a x}{6 a} = \frac{- 4}{6 a}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 a x}{6 a} = \frac{- 4}{6 a}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{a x}{a} = \frac{- 4}{6 a}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a x}{a} = \frac{- 4}{6 a}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{6 a}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6 a}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6 a$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{2 (3 a)}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 a)}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 2}{3 a}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3 a}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- \frac{2}{3 a}$ in $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2}{3 a}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- \frac{2}{3 a})}^{3} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3 a})}^{3}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{{(3 a)}^{3}})) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $3 a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a ({(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}})) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (- \frac{2}{3 a}) = {(- 1)}^{3} a (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.3.1

Scomponi $a$ da ${(- 1)}^{3} a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{3}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.3.2

Scomponi $a$ da $3^{3} a^{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{a (3^{3} a^{2})}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2}{3 a}) = a {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{a (3^{3} a^{2})}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2}{3 a}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3} a^{2}}) + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.4

${(- 1)}^{3}$ e $\frac{2^{3}}{3^{3} a^{2}}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{{(- 1)}^{3} \cdot 2^{3}}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.5.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 2^{3}}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 8}{3^{3} a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 1 \cdot 8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 {(- \frac{2}{3 a})}^{2} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.9

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.9.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3 a})}^{2}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{{(3 a)}^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.9.3

Applica la regola del prodotto a $3 a$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}})) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.11

Moltiplica $\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{2^{2}}{3^{2} a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{4}{3^{2} a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.13

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + 2 (\frac{4}{9 a^{2}}) + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.14

Moltiplica $2 \frac{4}{9 a^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.14.1

$2$ e $\frac{4}{9 a^{2}}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{2 \cdot 4}{9 a^{2}} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.14.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + 2 (- \frac{2}{3 a}) + 1$

Passaggio 3.1.2.1.15

Moltiplica $2 (- \frac{2}{3 a})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.15.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} - 2 \frac{2}{3 a} + 1$

Passaggio 3.1.2.1.15.2

$- 2$ e $\frac{2}{3 a}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{3 a} + 1$

Passaggio 3.1.2.1.15.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} + \frac{- 4}{3 a} + 1$

Passaggio 3.1.2.1.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Passaggio 3.1.2.2

Per scrivere $\frac{8}{9 a^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8}{9 a^{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3 a} + 1$

Passaggio 3.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $27 a^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{8}{9 a^{2}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8 \cdot 3}{9 a^{2} \cdot 3} - \frac{4}{3 a} + 1$

Passaggio 3.1.2.3.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = - \frac{8}{27 a^{2}} + \frac{8 \cdot 3}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Passaggio 3.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8 + 8 \cdot 3}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Moltiplica $8$ per $3$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{- 8 + 24}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Passaggio 3.1.2.5.2

Somma $- 8$ e $24$ .

$f (- \frac{2}{3 a}) = \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Passaggio 3.1.2.6

La risposta finale è $\frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$ .

$\frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- \frac{2}{3 a}$ in $f (x) = a x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1$ è $(- \frac{2}{3 a}, \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{2}{3 a}, \frac{16}{27 a^{2}} - \frac{4}{3 a} + 1)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{2}{3 a}) \cup (- \frac{2}{3 a}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $N^{2} a - 0.1$ nell'espressione.

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a (N^{2} a - 0.1) + 4$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a (N^{2} a) + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Sposta $a$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 (a \cdot a) N^{2} + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Passaggio 5.2.1.2.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 6 a \cdot - 0.1 + 4$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 0.1$ per $6$ .

$f'' (N^{2} a - 0.1) = 6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$ .

$6 a^{2} N^{2} - 0.6 a + 4$

Passaggio 5.3

Per $N^{2} a - 0.1$ , la derivata seconda è $N a N$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ .

Decrescente su $(- \infty, - \frac{2}{3 a})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $N^{2} a + 0.1$ nell'espressione.

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a (N^{2} a + 0.1) + 4$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a (N^{2} a) + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Sposta $a$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 (a \cdot a) N^{2} + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Passaggio 6.2.1.2.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 6 a \cdot 0.1 + 4$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $0.1$ per $6$ .

$f'' (N^{2} a + 0.1) = 6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$ .

$6 a^{2} N^{2} + 0.6 a + 4$

Passaggio 6.3

Per $N^{2} a + 0.1$ , la derivata seconda è $N a N$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ .

Decrescente su $(- \frac{2}{3 a}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia segno, da più a meno o da meno a più. Sul grafico non ci sono punti che soddisfano queste condizioni.

Nessun punto di flesso