Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2})$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2})$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2})$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - 2 \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x$

Passaggio 1.1.3.4

$- 2$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{- 2 \sqrt{3}}{2} x$

Passaggio 1.1.3.5

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{- 2 \sqrt{3} x}{2}$

Passaggio 1.1.3.6

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{3} x$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{2 (- \sqrt{3} x)}{2}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{2 (- \sqrt{3} x)}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{2 (- \sqrt{3} x)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 2 \cos (x) + \frac{- \sqrt{3} x}{1}$

Passaggio 1.1.3.6.2.4

Dividi $- \sqrt{3} x$ per $1$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) - \sqrt{3} x$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - x \sqrt{3} + 2 \cos (x)$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x \sqrt{3} + 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x \sqrt{3}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x \sqrt{3}) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x \sqrt{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- \sqrt{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x \sqrt{3}$ rispetto a $x$ è $- \sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 1.2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} + 2 (- \sin (x))$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \sqrt{3} - 2 \sin (x)$

Passaggio 1.2.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = - 2 \sin (x) - \sqrt{3}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ .

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Passaggio 2.2

Somma $\sqrt{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ è $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Passaggio 2.6

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Passaggio 2.7.2

L'angolo risultante di $\frac{4 π}{3}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 2.8

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.8.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.9

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{3}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Passaggio 2.9.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 2.9.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.3.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 2.9.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 2.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 2.9.4.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Passaggio 2.9.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 2.10

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{4 π}{3}$ in $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 \sin (\frac{4 π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \sin (\frac{π}{3})) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{4 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(4 π)}^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Applica la regola del prodotto a $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4^{2} π^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16 π^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.1.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16 π^{2}}{9}$

Passaggio 3.1.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{16 π^{2}}{9}$

Passaggio 3.1.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $16 π^{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (8 π^{2})}{9}$

Passaggio 3.1.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} + \frac{- \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (8 π^{2})}{9}$

Passaggio 3.1.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \frac{8 π^{2}}{9}$

Passaggio 3.1.2.1.8

$\frac{8 π^{2}}{9}$ e $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 3.1.2.2

La risposta finale è $- \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}$ .

$- \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{4 π}{3}$ in $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ è $(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $\frac{5 π}{3}$ in $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 \sin (\frac{5 π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (- \sin (\frac{π}{3})) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{3}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot {(\frac{5 π}{3})}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(5 π)}^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Applica la regola del prodotto a $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5^{2} π^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25 π^{2}}{3^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25 π^{2}}{9}$

Passaggio 3.3.2.1.7

Moltiplica $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25 π^{2}}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.7.1

Moltiplica $\frac{25 π^{2}}{9}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{9 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.7.2

Moltiplica $9$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18}$

Passaggio 3.3.2.2

La risposta finale è $- \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18}$ .

$- \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{5 π}{3}$ in $f (x) = 2 \sin (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} x^{2}$ è $(\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}), (\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{4 π}{3}) \cup (\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}) \cup (\frac{5 π}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{4 π}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.0887902$ nell'espressione.

$f'' (4.0887902) = - 2 \sin (4.0887902) - \sqrt{3}$

Passaggio 5.2

La risposta finale è $- 2 \sin (4.0887902) - \sqrt{3}$ .

$- 2 \sin (4.0887902) - \sqrt{3}$

Passaggio 5.3

Per $4.0887902$ , la derivata seconda è $- 0.10848645$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{4 π}{3})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{4 π}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4.71238898$ nell'espressione.

$f'' (4.71238898) = - 2 \sin (4.71238898) - \sqrt{3}$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $- 2 \sin (4.71238898) - \sqrt{3}$ .

$- 2 \sin (4.71238898) - \sqrt{3}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $4.71238898$ , la derivata seconda è $0.26794919$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3})$ .

Crescente su $(\frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{5 π}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5.33598775$ nell'espressione.

$f'' (5.33598775) = - 2 \sin (5.33598775) - \sqrt{3}$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $- 2 \sin (5.33598775) - \sqrt{3}$ .

$- 2 \sin (5.33598775) - \sqrt{3}$

Passaggio 7.3

Per $5.33598775$ , la derivata seconda è $- 0.10848645$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{5 π}{3}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{5 π}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}), (\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$ .

$(\frac{4 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{8 π^{2} \sqrt{3}}{9}), (\frac{5 π}{3}, - \sqrt{3} - \frac{25 π^{2} \sqrt{3}}{18})$

Passaggio 9