Calcolo Esempi

$5 \sin (2 x) + 3 > \frac{11}{2}$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini non contenenti $\sin (2 x)$ sul lato destro della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.3

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 6}{2}$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $6$ da $11$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$

Passaggio 2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ .

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\sin (2 x) > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (2 x) > \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x > \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$2 x > \frac{π}{6}$

Passaggio 5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x > \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x > \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x > \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x > \frac{π}{12}$

Passaggio 6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.1.2

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 7.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 7.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.4.1

Riordina $π$ e $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 7.1.4.2

Sottrai $π$ da $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Passaggio 7.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 7.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Passaggio 8

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 8.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 9

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$5 \sin (2 (1)) + 3 > \frac{11}{2}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $7.54648713$ è maggiore del lato destro di $5.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$5 \sin (2 (2)) + 3 > \frac{11}{2}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 0.78401247$ non è maggiore del lato destro di $5.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$5 \sin (2 (4)) + 3 > \frac{11}{2}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $7.94679123$ è maggiore del lato destro di $5.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Vero

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Falso

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Vero

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Vero

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Falso

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{12} + π n < x < \frac{5 π}{12} + π n$ o $\frac{13 π}{12} + π n < x < \frac{17 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(\frac{13 π}{12} + π n, \frac{17 π}{12} + π n) \cup (\frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n)$

Passaggio 14