Calcolo Esempi

${(\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Passaggio 1.2

Calcola $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651)}^{3}$

Passaggio 1.3

Sposta $0.95105651$ alla sinistra di $i$ .

${(- 0.30901699 + 0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 2

Usa il teorema binomiale.

${(- 0.30901699)}^{3} + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Eleva $- 0.30901699$ alla potenza di $3$ .

$- 0.02950849 + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 3.1.2

Eleva $- 0.30901699$ alla potenza di $2$ .

$- 0.02950849 + 3 \cdot 0.0954915 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $3$ per $0.0954915$ .

$- 0.02950849 + 0.2864745 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $0.95105651$ per $0.2864745$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 0.30901699$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 3.1.6

Applica la regola del prodotto a $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 ({0.95105651}^{2} i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 3.1.7

Eleva $0.95105651$ alla potenza di $2$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 3.1.8

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 3.1.9

Moltiplica $- 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.9.1

Moltiplica $0.90450849$ per $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 \cdot - 0.90450849 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 3.1.9.2

Moltiplica $- 0.92705098$ per $- 0.90450849$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Passaggio 3.1.10

Applica la regola del prodotto a $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {0.95105651}^{3} i^{3}$

Passaggio 3.1.11

Eleva $0.95105651$ alla potenza di $3$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 i^{3}$

Passaggio 3.1.12

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (i^{2} \cdot i)$

Passaggio 3.1.13

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- 1 \cdot i)$

Passaggio 3.1.14

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- i)$

Passaggio 3.1.15

Moltiplica $- 1$ per $0.8602387$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 - 0.8602387 i$

Passaggio 3.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $- 0.02950849$ e $0.83852549$ .

$0.80901699 + 0.27245344 i - 0.8602387 i$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $0.8602387 i$ da $0.27245344 i$ .

$0.80901699 - 0.58778525 i$

Passaggio 4

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 5

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 6

Sostituisci i valori effettivi di $a = 0.80901699$ e $b = - 0.58778525$ .

$| z | = \sqrt{{(- 0.58778525)}^{2} + {0.80901699}^{2}}$

Passaggio 7

Trova $| z |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Eleva $- 0.58778525$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + {0.80901699}^{2}}$

Passaggio 7.2

Eleva $0.80901699$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + 0.65450849}$

Passaggio 7.3

Somma $0.3454915$ e $0.65450849$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Passaggio 7.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Passaggio 7.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$| z | = 1$

Passaggio 8

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 0.58778525}{0.80901699})$

Passaggio 9

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{- 0.58778525}{0.80901699}$ produce un angolo nel quarto quadrante, il valore dell'angolo è $- \frac{π}{5}$ .

$θ = - \frac{π}{5}$

Passaggio 10

Sostituisci i valori di $θ = - \frac{π}{5}$ e $| z | = 1$ .

$1 (\cos (- \frac{π}{5}) + i \sin (- \frac{π}{5}))$