Calcolo Esempi

$x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 1

Scrivi $x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ come funzione.

$f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{4}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2} - 5$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2} + 0)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$f' (x) = x (4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{1}{2})) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.6.2

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f' (x) = x (\frac{4}{2} \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.6.3

$\frac{4}{2}$ e ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.4.1

Scomponi $2$ da $4 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 (1)}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = x (\frac{2 (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3})}{2 \cdot 1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = x (\frac{2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{1}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.6.4.2.4

Dividi $2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4} \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.8

Moltiplica ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ per $1$ .

$f' (x) = x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da $x (2 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1.1

Riordina $x$ e $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 2.1.4.1.2

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da $2 \cdot x {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 2.1.4.1.3

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da ${(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 2.1.4.1.4

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ da ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{x}{2} - 5)$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 \cdot x + \frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 2.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Per scrivere $2 x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (2 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 2.1.4.2.2

$2 x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2}{2} + \frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 2.1.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{2 x \cdot 2 + x}{2} - 5)$

Passaggio 2.1.4.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{4 x + x}{2} - 5)$

Passaggio 2.1.4.2.5

Somma $4 x$ e $x$ .

$f' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5 x}{2} - 5)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ e $g (x) = \frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2} - 5) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 x}{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (\frac{5 x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 2.2.2.2

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 2.2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + \frac{d}{d x} (- 5)) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 2.2.2.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2} + 0) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 2.2.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Somma $\frac{5}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} (\frac{5}{2}) + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 2.2.2.6.2

${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ e $\frac{5}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{3} \cdot 5}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 2.2.2.6.3

Sposta $5$ alla sinistra di ${(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{2} - 5)}^{3})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x}{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + (\frac{5 x}{2} - 5) (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Sposta $3$ alla sinistra di $\frac{5 x}{2} - 5$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2} - 5)$

Passaggio 2.2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x}{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Passaggio 2.2.4.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

Passaggio 2.2.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

Passaggio 2.2.4.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} (- 5))$

Passaggio 2.2.4.6

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2} + 0)$

Passaggio 2.2.4.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.7.1

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + 3 (\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{1}{2})$

Passaggio 2.2.4.7.2

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3}{2} \cdot ((\frac{5 x}{2} - 5) {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})$

Passaggio 2.2.4.7.3

${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} \cdot 3}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Passaggio 2.2.4.7.4

Sposta $3$ alla sinistra di ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 \cdot {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)$

Passaggio 2.2.5

Per scrivere $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 2.2.6

$\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}}{2} + \frac{\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5) \cdot 2}{2}$

Passaggio 2.2.8

$2$ e $\frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 2.2.10

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Scomponi $2$ da $6 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 2.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 (1)} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 2.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{2 (3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 2.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + \frac{3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}}{1} \cdot (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 2.2.10.2.4

Dividi $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 2.2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1.1

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ da $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3} + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1.1.1

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ da $5 {(\frac{x}{2} - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + 3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.1.2

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ da $3 {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 5)$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.1.3

Scomponi ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2}$ da ${(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5)) + {(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (3 (\frac{5 x}{2} - 5))$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2} - 5) + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (5 (\frac{x}{2}) + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.3

$5$ e $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 5 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.4

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2} - 5))}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + 3 (\frac{5 x}{2}) + 3 \cdot - 5)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.6

Moltiplica $3 \frac{5 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1.6.1

$3$ e $\frac{5 x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{3 (5 x)}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.6.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} + 3 \cdot - 5)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.7

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x}{2} - 25 + \frac{15 x}{2} - 15)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 25 - 15)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.9

Sottrai $15$ da $- 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5)}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.10

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.11

$- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 5 \cdot 2}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.13

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{5 x + 15 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.14

Somma $5 x$ e $15 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{20 x}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.15

Elimina il fattore comune di $20$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1.15.1

Scomponi $2$ da $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2} - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1.15.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 (1)} - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{2 (10 x)}{2 \cdot 1} - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (\frac{10 x}{1} - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.15.2.4

Dividi $10 x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(\frac{x - 10}{2})}^{2} (10 x - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.16

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 10}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.17

Scomponi $10$ da $10 x - 40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1.17.1

Scomponi $10$ da $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x) - 40)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.17.2

Scomponi $10$ da $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 x + 10 \cdot - 4)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.17.3

Scomponi $10$ da $10 x + 10 \cdot - 4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}} \cdot (10 (x - 4))}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.18

$\frac{{(x - 10)}^{2}}{2^{2}}$ e $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{2^{2}} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.19

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 10}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.20

Elimina il fattore comune di $10$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1.20.1

Scomponi $2$ da ${(x - 10)}^{2} \cdot 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{4} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.20.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1.20.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 (2)} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.20.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ({(x - 10)}^{2} \cdot 5)}{2 \cdot 2} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.20.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x - 10)}^{2} \cdot 5}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 2.2.11.1.21

Sposta $5$ alla sinistra di ${(x - 10)}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot (x - 4)}{2}$

Passaggio 2.2.11.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2})}{2}$

Passaggio 2.2.11.3

Scomponi $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ da $\frac{(x - 4) \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$

Passaggio 2.2.11.4

Moltiplica $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2} \cdot \frac{x - 4}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.4.1

Moltiplica $\frac{5 {(x - 10)}^{2}}{2}$ per $\frac{x - 4}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.11.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{5 {(x - 10)}^{2} (x - 4)}{4} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta ${(x - 10)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Imposta ${(x - 10)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 10)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Risolvi ${(x - 10)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Poni $x - 10$ uguale a $0$ .

$x - 10 = 0$

Passaggio 3.3.2.2.2

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 10$

Passaggio 3.3.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $5 {(x - 10)}^{2} (x - 4) = 0$ vera.

$x = 10, 4$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $10$ in $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f (10) = (10) {(\frac{10}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Dividi $10$ per $2$ .

$f (10) = 10 {(5 - 5)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$f (10) = 10 \cdot 0^{4}$

Passaggio 4.1.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (10) = 10 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $10$ per $0$ .

$f (10) = 0$

Passaggio 4.1.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $10$ in $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ è $(10, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(10, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $4$ in $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = (4) {(\frac{4}{2} - 5)}^{4}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Dividi $4$ per $2$ .

$f (4) = 4 {(2 - 5)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $5$ da $2$ .

$f (4) = 4 {(- 3)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f (4) = 4 \cdot 81$

Passaggio 4.3.2.4

Moltiplica $4$ per $81$ .

$f (4) = 324$

Passaggio 4.3.2.5

La risposta finale è $324$ .

$324$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $4$ in $f (x) = x {(\frac{x}{2} - 5)}^{4}$ è $(4, 324)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(4, 324)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(10, 0), (4, 324)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 4) \cup (4, 10) \cup (10, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 4)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3.9$ nell'espressione.

$f'' (3.9) = \frac{5 {((3.9) - 10)}^{2} ((3.9) - 4)}{4}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Sottrai $10$ da $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} (3.9 - 4)}{4}$

Passaggio 6.2.1.2

Sottrai $4$ da $3.9$ .

$f'' (3.9) = \frac{5 {(- 6.1)}^{2} \cdot - 0.1}{4}$

Passaggio 6.2.1.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Moltiplica $- 0.1$ per $5$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 0.5 {(- 6.1)}^{2}}{4}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Moltiplica $- 0.5$ per ${(- 6.1)}^{2}$ .

$f'' (3.9) = \frac{- 18.605}{4}$

Passaggio 6.2.2

Dividi $- 18.605$ per $4$ .

$f'' (3.9) = - 4.65125$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 4.65125$ .

$- 4.65125$

Passaggio 6.3

Per $3.9$ , la derivata seconda è $- 4.65125$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 4)$ .

Decrescente su $(- \infty, 4)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, 10)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f'' (7) = \frac{5 {((7) - 10)}^{2} ((7) - 4)}{4}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Sottrai $10$ da $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} (7 - 4)}{4}$

Passaggio 7.2.1.2

Sottrai $4$ da $7$ .

$f'' (7) = \frac{5 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{4}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f'' (7) = \frac{15 {(- 3)}^{2}}{4}$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (7) = \frac{15 \cdot 9}{4}$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $15$ per $9$ .

$f'' (7) = \frac{135}{4}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $\frac{135}{4}$ .

$\frac{135}{4}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $7$ , la derivata seconda è $33.75$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(4, 10)$ .

Crescente su $(4, 10)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(10, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10.1$ nell'espressione.

$f'' (10.1) = \frac{5 {((10.1) - 10)}^{2} ((10.1) - 4)}{4}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Sottrai $10$ da $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot ({0.1}^{2} (10.1 - 4))}{4}$

Passaggio 8.2.1.2

Sottrai $4$ da $10.1$ .

$f'' (10.1) = \frac{5 \cdot {0.1}^{2} \cdot 6.1}{4}$

Passaggio 8.2.1.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.3.1

Moltiplica $6.1$ per $5$ .

$f'' (10.1) = \frac{30.5 \cdot {0.1}^{2}}{4}$

Passaggio 8.2.1.3.2

Moltiplica $30.5$ per ${0.1}^{2}$ .

$f'' (10.1) = \frac{0.305}{4}$

Passaggio 8.2.2

Dividi $0.305$ per $4$ .

$f'' (10.1) = 0.07625$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0.07625$ .

$0.07625$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $10.1$ , la derivata seconda è $0.07625$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(10, \infty)$ .

Crescente su $(10, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(4, 324)$ .

$(4, 324)$

Passaggio 10