Calcolo Esempi

$x \sqrt{x^{2} + 25}$

Passaggio 1

Scrivi $x \sqrt{x^{2} + 25}$ come funzione.

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 25}$ come ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 25$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 25$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.8.3

Sposta ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (25)) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.11

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.12.2

$2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.12.3

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.16

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.16.1

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.16.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.16.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.1.17

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 2.1.18

Moltiplica ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.19

Per scrivere ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.21

Moltiplica ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.21.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.21.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.21.3

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.21.4

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.22

Semplifica ${(x^{2} + 25)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.23

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{2} + 25$ e $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 25) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (25)) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.4.5

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.6.1

Somma $4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.4.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.10

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{{(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.10.3

Sposta ${(x^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.13

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.14

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.14.2

$2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.14.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.14.4

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.14.5

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 25) \frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 25) (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.2

Moltiplica $- 2 x^{2} - 25$ per $\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.3

Per scrivere $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5

Riscrivi $\frac{4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.2.5.1

Scomponi $x$ da $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} - 25) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.2.5.1.1

Scomponi $x$ da $4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} - 25) x}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.1.2

Scomponi $x$ da $(- 2 x^{2} - 25) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.1.3

Scomponi $x$ da $x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.2

Moltiplica ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.2.5.2.1

Sposta ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 ({(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} + 25) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.3

Semplifica $4 {(x^{2} + 25)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} + 25) - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot 25 - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.5

Moltiplica $4$ per $25$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 100 - 2 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.6

Sottrai $2 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 100 - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.2.5.7

Sottrai $25$ da $100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.3.1

Riscrivi $\frac{\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 25}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 25}$

Passaggio 2.2.15.3.2

Moltiplica $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x^{2} + 25}$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 25)}$

Passaggio 2.2.15.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 25$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.3.3.1

Moltiplica ${(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ per $x^{2} + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.15.3.3.1.1

Eleva $x^{2} + 25$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 25)}$

Passaggio 2.2.15.3.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.2.15.3.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.15.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.2.15.3.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{x (2 x^{2} + 75)}{{(x^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x (2 x^{2} + 75) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} + 75 = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.3.3

Imposta $2 x^{2} + 75$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $2 x^{2} + 75$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} + 75 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Risolvi $2 x^{2} + 75 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Sottrai $75$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} = - 75$

Passaggio 3.3.3.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = - 75$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = - 75$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 75}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 75}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 75}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{75}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{75}{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{75}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{75}{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{75}{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{75}{2}}$ come $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.4.1

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.4.1.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{25 (3)}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.4.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.5

Moltiplica $\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 3.3.3.2.4.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.6.1

Moltiplica $\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.6.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.6.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.6.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.6.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.6.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.6.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.6.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.6.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.6.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.3.3.2.4.6.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.7.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{2 \cdot 3}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.4.7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \pm i \frac{5 \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.4.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.8.1

$i$ e $\frac{5 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i (5 \sqrt{6})}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.4.8.2

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{5 i \sqrt{6}}{2}, - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (2 x^{2} + 75) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{5 i \sqrt{6}}{2}, - \frac{5 i \sqrt{6}}{2}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = (0) \sqrt{{(0)}^{2} + 25}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0 + 25}$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $25$ .

$f (0) = 0 \sqrt{25}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{5^{2}}$

Passaggio 4.1.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = 0 \cdot 5$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $0$ per $5$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.6

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 25}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = \frac{(- 0.1) (2 {(- 0.1)}^{2} + 75)}{{({(- 0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 0.1$ per $2 {(- 0.1)}^{2} + 75$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{({(- 0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{(0.01 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0.01$ e $25$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{25.01}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi $25.01$ come ${5.0009999}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{({5.0009999}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 6.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 6.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{{5.0009999}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.6

Eleva $5.0009999$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 7.502}{125.07500749}$

Passaggio 6.2.3

Dividi $- 7.502$ per $125.07500749$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.05998$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 0.05998$ .

$- 0.05998$

Passaggio 6.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 0.05998$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = \frac{(0.1) (2 {(0.1)}^{2} + 75)}{{({(0.1)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $0.1$ per $2 \cdot {0.1}^{2} + 75$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{({0.1}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{(0.01 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0.01$ e $25$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{25.01}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.3

Riscrivi $25.01$ come ${5.0009999}^{2}$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{({5.0009999}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2.2.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 7.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 7.2.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{{5.0009999}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.6

Eleva $5.0009999$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{7.502}{125.07500749}$

Passaggio 7.2.3

Dividi $7.502$ per $125.07500749$ .

$f'' (0.1) = 0.05998$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $0.05998$ .

$0.05998$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.05998$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 9