Calcolo Esempi

$5 \sqrt{x} e^{- x}$

Passaggio 1

Scrivi $5 \sqrt{x} e^{- x}$ come funzione.

$f (x) = 5 \sqrt{x} e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Passaggio 2.1.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} e^{- x}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.1.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.1.4.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.1.4.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 2.1.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 2.1.6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 2.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 2.1.8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 2.1.10

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.1.11

$e^{- x}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 2.1.12

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) + \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.1.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 5 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.13.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.13.2.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 5 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.13.2.2

$5$ e $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.13.3

Riordina i termini.

$f' (x) = - 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [e^{- x} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 5 (e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 5 (e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.12

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 5 (e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.13

$e^{- x}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.14

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.15

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.16

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.2.17

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $\frac{5}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{- x}] - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.9

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.10

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.11

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.13.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.13.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.15

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - e^{- x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.16

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $e^{- x}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{- x}}{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.17

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.3.18

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.18.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.3.18.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.18.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.3.18.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x^{1}}$

Passaggio 2.2.3.19

Semplifica.

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5}{2} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 2.2.3.20

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $\frac{x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ .

$- 5 (\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x}) - \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Passaggio 2.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 5 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 5 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Passaggio 2.2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.1

$- 5$ e $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 5 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Passaggio 2.2.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 5 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Passaggio 2.2.4.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + \frac{5 (x^{\frac{1}{2}} (- e^{- x})) + 5 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Passaggio 2.2.4.3.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 (x^{\frac{1}{2}} (e^{- x})) + 5 (- \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Passaggio 2.2.4.3.5

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 5 \frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 2.2.4.3.6

$- 5$ e $\frac{e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 2.2.4.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 2.2.4.3.8

Per scrivere $- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Passaggio 2.2.4.3.9

Per scrivere $\frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x}{x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.10.1

Moltiplica $\frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{x}{x}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{1}{2}} x} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3.10.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3.10.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3.10.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3.10.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3.10.6

Somma $2$ e $1$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3.10.7

Moltiplica $\frac{- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$ per $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3.10.8

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.10.8.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Passaggio 2.2.4.3.10.8.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.3.10.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Passaggio 2.2.4.3.10.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.2.4.3.10.8.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3.10.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3.10.8.5

Somma $1$ e $2$ .

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x} x}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{(- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} + \frac{- 5 e^{- x} x + (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.4

Riordina i termini.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5 e^{- x} x + (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1.1

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $- 5 e^{- x} x + (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1.1.1.1

Sposta $e^{- x}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5 x e^{- x} + (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}) x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.1.1.2

Riordina $- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5 x e^{- x} + x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.1.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $- 5 x e^{- x}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.1.3

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}) + x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.2

Sottrai $5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ da $- 5 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 10 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.3

Scomponi $5 e^{- x}$ da $- 10 x^{\frac{1}{2}} e^{- x} - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1.3.1

Scomponi $5 e^{- x}$ da $- 10 x^{\frac{1}{2}} e^{- x}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.3.2

Scomponi $5 e^{- x}$ da $- \frac{5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 5 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.3.3

Scomponi $5 e^{- x}$ da $5 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}) + 5 e^{- x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1.4.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.4.2

Scomponi $- 1$ da $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (2 x^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} (- (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (5 e^{- x} \cdot - 1 (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1.5.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- (5 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.5.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} (- 5 (e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})))}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.6

Per scrivere $2 x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} (2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.7

$2 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} (\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1.9.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.9.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1.9.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.9.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.9.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.9.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x^{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.9.3

Semplifica $2 \cdot 2 x^{1}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{2 \cdot 2 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.9.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 5 e^{- x} \frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.10

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1.10.1

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{4 x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5 e^{- x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.10.2

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $- 5$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.10.3

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{- x}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.11

Riduci l'espressione $\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.1.11.1

Elimina il fattore comune.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 x + 1) \cdot - 5 e^{- x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.11.2

Riscrivi l'espressione.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{(4 x + 1) \cdot - 5 e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.12

Sposta $- 5$ alla sinistra di $4 x + 1$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{- 5 \cdot (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{2}}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5.3

Moltiplica $- \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.5.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ per $\frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{2}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Passaggio 2.2.4.5.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.6

Per scrivere $5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.7

$5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{5 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 5 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.9.1

Scomponi $5 e^{- x}$ da $5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - 5 (4 x + 1) e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.9.1.1

Scomponi $5 e^{- x}$ da $5 e^{- x} x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) - 5 (4 x + 1) e^{- x}}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9.1.2

Scomponi $5 e^{- x}$ da $- 5 (4 x + 1) e^{- x}$ .

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 5 e^{- x} (- (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9.1.3

Scomponi $5 e^{- x}$ da $5 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}})) + 5 e^{- x} (- (4 x + 1))$ .

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{1}{2}} (4 x^{\frac{3}{2}}) - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.9.2.1

Sposta $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{3 + 1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9.2.4

Somma $3$ e $1$ .

$\frac{5 e^{- x} (x^{\frac{4}{2}} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9.2.5

Dividi $4$ per $2$ .

$\frac{5 e^{- x} (x^{2} \cdot 4 - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.9.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{5 e^{- x} (4 \cdot x^{2} - (4 x + 1))}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.9.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Passaggio 3.3.2

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.3.2.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.3.3

Imposta $4 x^{2} - 4 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Imposta $4 x^{2} - 4 x - 1$ uguale a $0$ .

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Passaggio 3.3.3.2

Risolvi $4 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = - 4$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.3.1.3

Somma $16$ e $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.3.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.3.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.2.3.3

Semplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.4.1.3

Somma $16$ e $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.4.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.4.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.4.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.2.4.3

Semplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.5.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.5.1.3

Somma $16$ e $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.5.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.5.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.5.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.3.3.2.5.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x = \frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 3.3.3.2.5.3

Semplifica $\frac{4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.3.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{5 e^{- x} (4 x^{2} - 4 x - 1)}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ vera.

$x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1.20710678$ in $f (x) = 5 \sqrt{x} e^{- x}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.20710678$ nell'espressione.

$f (1.20710678) = 5 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1.20710678) = 5 \sqrt{1.20710678} e^{- (1.20710678)}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1.20710678$ .

$f (1.20710678) = 5 \sqrt{1.20710678} e^{- 1.20710678}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1.20710678) = 5 \sqrt{1.20710678} (\frac{1}{e^{1.20710678}})$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $5 \sqrt{1.20710678} \frac{1}{e^{1.20710678}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

$\frac{1}{e^{1.20710678}}$ e $5$ .

$f (1.20710678) = \frac{5}{e^{1.20710678}} \cdot \sqrt{1.20710678}$

Passaggio 4.1.2.4.2

$\frac{5}{e^{1.20710678}}$ e $\sqrt{1.20710678}$ .

$f (1.20710678) = \frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

Passaggio 4.1.2.5

La risposta finale è $\frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$ .

$\frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $1.20710678$ in $f (x) = 5 \sqrt{x} e^{- x}$ è $(1.20710678, \frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1.20710678, \frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 1.20710678) \cup (1.20710678, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 1.20710678)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.10710678$ nell'espressione.

$f'' (1.10710678) = \frac{5 e^{- (1.10710678)} (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sposta $e^{- (1.10710678)}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 (4 {(1.10710678)}^{2} - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 {(1.10710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $1.10710678$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 (4 \cdot 1.22568542 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $4$ per $1.22568542$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 (4.90274169 - 4 \cdot 1.10710678 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1.10710678$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 (4.90274169 - 4.42842712 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Passaggio 6.2.2.4

Sottrai $4.42842712$ da $4.90274169$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 (0.47431457 - 1)}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Passaggio 6.2.2.5

Sottrai $1$ da $0.47431457$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.10710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Riscrivi $1.10710678$ come ${1.05219141}^{2}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({({1.05219141}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.10710678})}$

Passaggio 6.2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

Passaggio 6.2.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.10710678})}$

Passaggio 6.2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot ({1.05219141}^{3} e^{1.10710678})}$

Passaggio 6.2.3.4

Eleva $1.05219141$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4 \cdot (1.16488825 e^{1.10710678})}$

Passaggio 6.2.3.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.5.1

Moltiplica $4$ per $1.16488825$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{4.65955301 e^{1.10710678}}$

Passaggio 6.2.3.5.2

Moltiplica $4.65955301$ per $e^{1.10710678}$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{5 \cdot - 0.52568542}{14.09790642}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $5$ per $- 0.52568542$ .

$f'' (1.10710678) = \frac{- 2.62842712}{14.09790642}$

Passaggio 6.2.4.2

Dividi $- 2.62842712$ per $14.09790642$ .

$f'' (1.10710678) = - 0.18644095$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $- 0.18644095$ .

$- 0.18644095$

Passaggio 6.3

Per $1.10710678$ , la derivata seconda è $- 0.18644095$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 1.20710678)$ .

Decrescente su $(- \infty, 1.20710678)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1.20710678, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.30710678$ nell'espressione.

$f'' (1.30710678) = \frac{5 e^{- (1.30710678)} (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sposta $e^{- (1.30710678)}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 (4 {(1.30710678)}^{2} - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 {(1.30710678)}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $1.30710678$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 (4 \cdot 1.70852813 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $4$ per $1.70852813$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 (6.83411254 - 4 \cdot 1.30710678 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Passaggio 7.2.2.3

Moltiplica $- 4$ per $1.30710678$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 (6.83411254 - 5.22842712 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Passaggio 7.2.2.4

Sottrai $5.22842712$ da $6.83411254$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 (1.60568542 - 1)}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Passaggio 7.2.2.5

Sottrai $1$ da $1.60568542$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.30710678}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Riscrivi $1.30710678$ come ${1.1432877}^{2}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({({1.1432877}^{2})}^{\frac{3}{2}} e^{1.30710678})}$

Passaggio 7.2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

Passaggio 7.2.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{2 (\frac{3}{2})} e^{1.30710678})}$

Passaggio 7.2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot ({1.1432877}^{3} e^{1.30710678})}$

Passaggio 7.2.3.4

Eleva $1.1432877$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{4 \cdot (1.49439911 e^{1.30710678})}$

Passaggio 7.2.3.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.5.1

Moltiplica $4$ per $1.49439911$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{5.97759645 e^{1.30710678}}$

Passaggio 7.2.3.5.2

Moltiplica $5.97759645$ per $e^{1.30710678}$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{5 \cdot 0.60568542}{22.09000709}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $5$ per $0.60568542$ .

$f'' (1.30710678) = \frac{3.02842712}{22.09000709}$

Passaggio 7.2.4.2

Dividi $3.02842712$ per $22.09000709$ .

$f'' (1.30710678) = 0.13709489$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $0.13709489$ .

$0.13709489$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $1.30710678$ , la derivata seconda è $0.13709489$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(1.20710678, \infty)$ .

Crescente su $(1.20710678, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(1.20710678, \frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$ .

$(1.20710678, \frac{5 \sqrt{1.20710678}}{e^{1.20710678}})$

Passaggio 9