Calcolo Esempi

$r^{2} = a^{2} \cos (2 θ)$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica $a^{2} \cos (2 θ)$ .

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Passaggio 1.1.1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1)$

Passaggio 1.1.2

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$r^{2} = a^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + a^{2} \cdot - 1$

Passaggio 1.1.2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) + a^{2} \cdot - 1$

Passaggio 1.1.2.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $a^{2}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot a^{2}$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi $- 1 a^{2}$ come $- a^{2}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} \cos^{2} (θ) - a^{2}$

Passaggio 2

Poiché $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , sostituisci $\cos (θ)$ con $\frac{x}{r}$ .

$r^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - a^{2}$

Passaggio 3

Poiché $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , sostituisci $r^{2}$ con $x^{2} + y^{2}$ e $r$ con $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} = 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - a^{2}$

Passaggio 4

Scrivi in forma standard.

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Passaggio 4.1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sottrai $2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = - a^{2}$

Passaggio 4.1.2

Somma $a^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ per $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2.2

Eleva $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ come ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.2.6.5

Semplifica.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.2.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ come ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.4.5

Semplifica.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + y^{2}$ e ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.5.1

Scomponi $x^{2} + y^{2}$ da $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.5.2.1

Scomponi $x^{2} + y^{2}$ da ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} + y^{2} - 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.6

Moltiplica $- 2 a^{2} \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.6.1

$- 2$ e $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} + a^{2} \frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.6.2

$a^{2}$ e $\frac{- 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} (- 2 x^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.7

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} + y^{2} + \frac{a^{2} \cdot - 2 x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.8

Sposta $- 2$ alla sinistra di $a^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{- 2 \cdot a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} + y^{2} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 a^{2} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $- 2 a^{2} x^{2}$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.4.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (- 2 a^{2})$ .

$y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.5

Per scrivere $y^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y^{2} (x^{2} + y^{2}) + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2} y^{2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.7.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{2 + 2} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.7.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} (x^{2} + y^{2} - 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.7.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.4.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.4.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.7.4.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} (- 2 a^{2})}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.7.4.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{y^{2} x^{2} + y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.7.5

Somma $y^{2} x^{2}$ e $x^{2} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.5.1

Riordina $y^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + x^{2} y^{2} + x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.7.5.2

Somma $x^{2} y^{2}$ e $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + a^{2} = 0$

Passaggio 4.2.8

Per scrivere $a^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Passaggio 4.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Passaggio 4.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 x^{2} a^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Passaggio 4.2.10.2

Somma $- 2 x^{2} a^{2}$ e $a^{2} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.10.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 2 a^{2} x^{2} + a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Passaggio 4.2.10.2.2

Somma $- 2 a^{2} x^{2}$ e $a^{2} x^{2}$ .

$\frac{y^{4} + x^{4} + 2 x^{2} y^{2} - a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}}{x^{2} + y^{2}} = 0$

Passaggio 5