Calcolo Esempi

$\ln (x^{4} + 1)$

Passaggio 1

Scrivi $\ln (x^{4} + 1)$ come funzione.

$f (x) = \ln (x^{4} + 1)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Passaggio 2.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3} + 0)$

Passaggio 2.1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.2.4.2

$4$ e $\frac{1}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 1} x^{3}$

Passaggio 2.1.2.4.3

$\frac{4}{x^{4} + 1}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 x^{3} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = 0$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 3.3.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3}}{{(- 1)}^{4} + 1}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{{(- 1)}^{4} + 1}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{1 + 1}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{2}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{2}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $- 4$ per $2$ .

$f' (- 1) = - 2$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 2$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{4 {(1)}^{3}}{{(1)}^{4} + 1}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{1^{4} + 1}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{1 + 1}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{2}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{2}$

Passaggio 7.2.3.2

Dividi $4$ per $2$ .

$f' (1) = 2$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0)$

Passaggio 9