Calcolo Esempi

$x^{2} e^{3 x}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{2} e^{3 x}$ come funzione.

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.1.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f' (x) = x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riordina i termini.

$f' (x) = 3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i fattori in $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $x e^{3 x}$ da $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x e^{3 x}$ da $3 x^{2} e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + 2 x e^{3 x} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x e^{3 x}$ da $2 x e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $x e^{3 x}$ da $x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2)$ .

$x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $e^{3 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $e^{3 x}$ uguale a $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $e^{3 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Passaggio 3.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{3 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.6

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $3 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - \frac{2}{3}$ .

$0, - \frac{2}{3}$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{2}{3})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.6666667$ nell'espressione.

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} e^{3 (- 1.6666667)} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.6666667$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot (2.777777\overline{8} e^{3 (- 1.6666667)}) + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $2.777777\overline{8}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} e^{3 (- 1.6666667)} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} e^{- 5.0000001} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} (\frac{1}{e^{5.0000001}}) + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Passaggio 6.2.1.5

$8.333333\overline{6}$ e $\frac{1}{e^{5.0000001}}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{e^{5.0000001}} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Passaggio 6.2.1.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{{2.71828182}^{5.0000001}} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Passaggio 6.2.1.7

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{8.333333\overline{6}}{148.41317394} + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Passaggio 6.2.1.8

Dividi $8.333333\overline{6}$ per $148.41317394$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 + 2 (- 1.6666667) \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $2$ per $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot e^{3 (- 1.6666667)}$

Passaggio 6.2.1.10

Moltiplica $3$ per $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot e^{- 5.0000001}$

Passaggio 6.2.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 3.3333334 \cdot \frac{1}{e^{5.0000001}}$

Passaggio 6.2.1.12

$- 3.3333334$ e $\frac{1}{e^{5.0000001}}$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 + \frac{- 3.3333334}{e^{5.0000001}}$

Passaggio 6.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{e^{5.0000001}}$

Passaggio 6.2.1.14

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{{2.71828182}^{5.0000001}}$

Passaggio 6.2.1.15

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - \frac{3.3333334}{148.41317394}$

Passaggio 6.2.1.16

Dividi $3.3333334$ per $148.41317394$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 1 \cdot 0.02245982$

Passaggio 6.2.1.17

Moltiplica $- 1$ per $0.02245982$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.05614955 - 0.02245982$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $0.02245982$ da $0.05614955$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.03368973$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.03368973$ .

$0.03368973$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1.6666667$ la derivata è $0.03368973$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{2}{3})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.6666667, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.\overline{3}$ nell'espressione.

$f' (- 0.\overline{3}) = 3 {(- 0.\overline{3})}^{2} e^{3 (- 0.\overline{3})} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 0.\overline{3}$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 3 \cdot (0.11111112 e^{3 (- 0.\overline{3})}) + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0.11111112$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 e^{3 (- 0.\overline{3})} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $3$ per $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 e^{- 1.00000005} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Passaggio 7.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.33333336 (\frac{1}{e^{1.00000005}}) + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Passaggio 7.2.1.5

$0.33333336$ e $\frac{1}{e^{1.00000005}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{e^{1.00000005}} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Passaggio 7.2.1.6

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{{2.71828182}^{1.00000005}} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Passaggio 7.2.1.7

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = \frac{0.33333336}{2.71828196} + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Passaggio 7.2.1.8

Dividi $0.33333336$ per $2.71828196$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 + 2 (- 0.\overline{3}) \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $2$ per $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot e^{3 (- 0.\overline{3})}$

Passaggio 7.2.1.10

Moltiplica $3$ per $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot e^{- 1.00000005}$

Passaggio 7.2.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.6666667 \cdot \frac{1}{e^{1.00000005}}$

Passaggio 7.2.1.12

$- 0.6666667$ e $\frac{1}{e^{1.00000005}}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 + \frac{- 0.6666667}{e^{1.00000005}}$

Passaggio 7.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{e^{1.00000005}}$

Passaggio 7.2.1.14

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{{2.71828182}^{1.00000005}}$

Passaggio 7.2.1.15

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - \frac{0.6666667}{2.71828196}$

Passaggio 7.2.1.16

Dividi $0.6666667$ per $2.71828196$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 1 \cdot 0.24525296$

Passaggio 7.2.1.17

Moltiplica $- 1$ per $0.24525296$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 0.12262648 - 0.24525296$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $0.24525296$ da $0.12262648$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - 0.12262647$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 0.12262647$ .

$- 0.12262647$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 0.\overline{3}$ la derivata è $- 0.12262647$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 0.6666667, 0)$ .

Decrescente su $(- \frac{2}{3}, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} e^{3 (1)} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 3 \cdot (1 e^{3 (1)}) + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3 (1)} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 (1) \cdot e^{3 (1)}$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 \cdot e^{3 (1)}$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = 3 e^{3} + 2 e^{3}$

Passaggio 8.2.2

Somma $3 e^{3}$ e $2 e^{3}$ .

$f' (1) = 5 e^{3}$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $5 e^{3}$ .

$5 e^{3}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $5 e^{3}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \frac{2}{3}, 0)$

Passaggio 10