Calcolo Esempi

$- \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $- \cos^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.1.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Passaggio 2.1.6.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

Passaggio 2.1.6.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\sin (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Passaggio 3.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (0)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$2 x = 0$

Passaggio 3.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - 0$

Passaggio 3.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 x = π + 0$

Passaggio 3.6.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Passaggio 3.6.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.7

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.7.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 3.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 3.7.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.8

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \sin (2 x)$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = - \cos^{2} (x)$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π n}{2})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π n}{2} - 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Passaggio 6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\sin (π n - 2)$ .

$\sin (π n - 2)$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = \frac{π n}{2} - 1$ la derivata è $\sin (π n - 2)$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{π n}{2})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π n}{2}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π n}{2} + 1$ nell'espressione.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Passaggio 7.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\sin (π n + 2)$ .

$\sin (π n + 2)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = \frac{π n}{2} + 1$ la derivata è $\sin (π n + 2)$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{π n}{2}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{π n}{2}, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, \frac{π n}{2})$

Passaggio 9