Calcolo Esempi

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ come funzione.

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{\frac{5}{3}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.1.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.1.2.6.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.1.2.7

$\frac{5}{3}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.1.2.8

$2$ e $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.1.2.9

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Passaggio 2.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Passaggio 2.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.1.3.7

$\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2.1.3.8

$- 5$ e $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Passaggio 2.1.3.9

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2.1.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Passaggio 3.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = 0, 8$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 8$ .

$0, 8$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 6.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 6.2.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 6.2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{2} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = \frac{10 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 6.2.2.5

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 6.2.2.6

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 6.2.2.7

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Passaggio 6.2.2.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Passaggio 6.2.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Passaggio 6.2.2.9

Calcola l'esponente.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Passaggio 6.2.2.10

Moltiplica $- 20$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 + 20}{3}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Somma $10$ e $20$ .

$f' (- 1) = \frac{30}{3}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $30$ per $3$ .

$f' (- 1) = 10$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $10$ .

$10$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $10$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 8)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 7.2.2

Rimuovi le parentesi.

$f' (4) = \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 8)$ .

Decrescente su $(0, 8)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(8, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi.

$f' (9) = \frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 9$ la derivata è $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(8, \infty)$ .

Decrescente su $(8, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0)$

Decrescente su: $(0, 8), (8, \infty)$

Passaggio 10