Calcolo Esempi

$\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 + e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

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Passaggio 2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.5.1

Sposta $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.5.3

Somma $x$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.6

Semplifica.

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Passaggio 2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1.6.2.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.6.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2.1.2

Somma $x$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2.2

Combina i termini opposti in $3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

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Passaggio 2.1.6.2.2.1

Sottrai $e^{2 x}$ da $e^{2 x}$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.1.6.2.2.2

Somma $3 e^{x}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 e^{x} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3 e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 3.3.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.3.3

Non c'è soluzione per $3 e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 5

Nessun punto rende la derivata $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita. L'intervallo per verificare se $f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ è crescente o decrescente è $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero, come $1$ , dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ per verificare se il risultato è positivo o negativo. Se è negativo, il grafico è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ . Se è positivo, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{3 e^{1}}{{(3 + e^{1})}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica.

$f' (1) = \frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ .

$\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Passaggio 7

Il risultato della sostituzione di $1$ in $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ è $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ , che è positivo; quindi, il grafico è crescente nell'intervallo $(- \infty, \infty)$ .

Crescente su $(- \infty, \infty)$ perché $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} > 0$

Passaggio 8

Crescente sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ significa che la funzione è sempre crescente.

Sempre crescente

Passaggio 9