Calcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 7)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{({(x - 7)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 7)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 7)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 7)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 7)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \frac{d}{d x} (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + \frac{d}{d x} (- 7)))}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.4.4

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) (1 + 0))}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 7) \cdot 1)}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.4.5.2

Moltiplica $x - 7$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 7)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1.1

Riscrivi ${(x - 7)}^{2}$ come $(x - 7) (x - 7)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 7) (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.2

Espandi $(x - 7) (x - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 7) - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.3.1.2

Sposta $- 7$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 7 x - 7 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.3.2

Sottrai $7 x$ da $- 7 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 14 x + 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 14 x) + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1.5.1

Moltiplica $- 14$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 2 \cdot 49) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $49$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 28 x + 98) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1.7.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.7.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1.7.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.7.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.7.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x \cdot x + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1.7.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 (x \cdot x) + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.7.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1.8.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.1.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 7}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.1.9

Moltiplica $- 7$ per $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} - 28 x^{2} + 98 x - 2 x^{3} + 14 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.2.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 0 + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.2.2

Somma $- 28 x^{2} + 98 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 28 x^{2} + 98 x + 14 x^{2}}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.2.3

Somma $- 28 x^{2}$ e $14 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x^{2} + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.3

Scomponi $14 x$ da $- 14 x^{2} + 98 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.3.1

Scomponi $14 x$ da $- 14 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 98 x}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.3.2

Scomponi $14 x$ da $98 x$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x) + 14 x (7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.3.3

Scomponi $14 x$ da $14 x (- x) + 14 x (7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- x + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.4

Elimina il fattore comune di $- x + 7$ e ${(x - 7)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.4.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) + 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.4.2

Riscrivi $7$ come $- 1 (- 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x) - 1 \cdot - 7)}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.4.4

Riscrivi $- (x - 7)$ come $- 1 (x - 7)$ .

$f' (x) = \frac{14 x (- 1 (x - 7))}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.4.5

Scomponi $x - 7$ da $14 x (- 1 (x - 7))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{{(x - 7)}^{4}}$

Passaggio 2.1.5.4.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.4.6.1

Scomponi $x - 7$ da ${(x - 7)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

Passaggio 2.1.5.4.6.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{(x - 7) (14 x \cdot (- 1))}{(x - 7) {(x - 7)}^{3}}$

Passaggio 2.1.5.4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{14 x \cdot (- 1)}{{(x - 7)}^{3}}$

Passaggio 2.1.5.5

Moltiplica $- 1$ per $14$ .

$f' (x) = \frac{- 14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Passaggio 2.1.5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$14 x = 0$

Passaggio 3.3

Dividi per $14$ ciascun termine in $14 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $14$ ciascun termine in $14 x = 0$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14 x}{14} = \frac{0}{14}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{14}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi $0$ per $14$ .

$x = 0$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{14 x}{{(x - 7)}^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 7)}^{3} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Poni $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 5.2.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{14 (- 1)}{{((- 1) - 7)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $14$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 1 - 7)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $7$ da $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{{(- 8)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Eleva $- 8$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 14}{- 512}$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $- 14$ e $- 512$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Scomponi $- 2$ da $- 14$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 512}$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 512$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1) = - \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 256}$

Passaggio 7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1) = - \frac{7}{256}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- \frac{7}{256}$ .

$- \frac{7}{256}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- \frac{7}{256}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 7)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{14 (\frac{7}{2})}{{((\frac{7}{2}) - 7)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$14$ e $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7)}^{3}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Per scrivere $- 7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} - 7 \cdot \frac{2}{2})}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.2

$- 7$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7}{2} + \frac{- 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 7 \cdot 2}{2})}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.4.1

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{7 - 14}{2})}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.4.2

Sottrai $14$ da $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(\frac{- 7}{2})}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- \frac{7}{2})}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.6

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{{(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- {(\frac{7}{2})}^{3}}$

Passaggio 8.2.2.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{7^{3}}{2^{3}}}$

Passaggio 8.2.2.9

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{2^{3}}}$

Passaggio 8.2.2.10

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{14 \cdot 7}{2}}{- \frac{343}{8}}$

Passaggio 8.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Moltiplica $14$ per $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{\frac{98}{2}}{- \frac{343}{8}}$

Passaggio 8.2.3.2

Dividi $98$ per $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{- \frac{343}{8}}$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (- \frac{8}{343}))$

Passaggio 8.2.5

Elimina il fattore comune di $49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{8}{343}$ nel numeratore.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{343}))$

Passaggio 8.2.5.2

Scomponi $49$ da $343$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 (7)}))$

Passaggio 8.2.5.3

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{7}{2}) = - (49 (\frac{- 8}{49 \cdot 7}))$

Passaggio 8.2.5.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 8}{7}$

Passaggio 8.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{8}{7}$

Passaggio 8.2.7

La risposta finale è $\frac{8}{7}$ .

$\frac{8}{7}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = \frac{7}{2}$ la derivata è $\frac{8}{7}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 7)$ .

Crescente su $(0, 7)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(7, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f' (8) = - \frac{14 (8)}{{((8) - 7)}^{3}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $14$ per $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{{(8 - 7)}^{3}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Sottrai $7$ da $8$ .

$f' (8) = - \frac{112}{1^{3}}$

Passaggio 9.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (8) = - \frac{112}{1}$

Passaggio 9.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Dividi $112$ per $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 112$

Passaggio 9.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $112$ .

$f' (8) = - 112$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- 112$ .

$- 112$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 8$ la derivata è $- 112$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(7, \infty)$ .

Decrescente su $(7, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, 7)$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (7, \infty)$

Passaggio 11