Calcolo Esempi

$y = 6 x^{3} + 9 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $y = 6 x^{3} + 9 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = 6 x^{3} + 9 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{3} + 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2})$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{3}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2})$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2})$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $3$ per $6$ .

$f' (x) = 18 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2})$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 18 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 18 x^{2} + 9 (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f' (x) = 18 x^{2} + 18 x$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $18 x^{2} + 18 x$ .

$18 x^{2} + 18 x$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $18 x^{2} + 18 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$18 x^{2} + 18 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $18 x$ da $18 x^{2} + 18 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $18 x$ da $18 x^{2}$ .

$18 x (x) + 18 x = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $18 x$ da $18 x$ .

$18 x (x) + 18 x (1) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $18 x$ da $18 x (x) + 18 x (1)$ .

$18 x (x + 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $18 x (x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 1$ .

$0, - 1$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 18 {(- 2)}^{2} + 18 (- 2)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = 18 \cdot 4 + 18 (- 2)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $18$ per $4$ .

$f' (- 2) = 72 + 18 (- 2)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $18$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 72 - 36$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $36$ da $72$ .

$f' (- 2) = 36$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $36$ .

$36$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $36$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 1)$ .

Crescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = 18 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 18 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 18 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 18 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 18 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = 18 (\frac{1}{2^{2}}) + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 18 (\frac{1}{4}) + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (9) (\frac{1}{4}) + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.6.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (9 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (9 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = 9 (\frac{1}{2}) + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.7

$9$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{2} + 18 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.1.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{2} + 18 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 7.2.1.8.2

Scomponi $2$ da $18$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{2} + 2 (9) (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 7.2.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{2} + 2 \cdot (9 (\frac{- 1}{2}))$

Passaggio 7.2.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{2} + 9 \cdot - 1$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{2} - 9$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.2.3

$- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 18}{2}$

Passaggio 7.2.5.2

Sottrai $18$ da $9$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 9}{2}$

Passaggio 7.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{9}{2}$

Passaggio 7.2.7

La risposta finale è $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - \frac{1}{2}$ la derivata è $- \frac{9}{2}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 1, 0)$ .

Decrescente su $(- 1, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 18 {(1)}^{2} + 18 (1)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 18 \cdot 1 + 18 (1)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $18$ per $1$ .

$f' (1) = 18 + 18 (1)$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $18$ per $1$ .

$f' (1) = 18 + 18$

Passaggio 8.2.2

Somma $18$ e $18$ .

$f' (1) = 36$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $36$ .

$36$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $36$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 1), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- 1, 0)$

Passaggio 10