Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{\frac{2}{9}} - \frac{2}{x^{4}} + 6 x + 2 \cos (x) + \ln (5)$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int 2 x^{\frac{2}{9}} - \frac{2}{x^{4}} + 6 x + 2 \cos (x) + \ln (5) d x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 x^{\frac{2}{9}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x^{\frac{2}{9}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{2}{9}}$ rispetto a $x$ è $\frac{9}{11} x^{\frac{11}{9}}$ .

$2 (\frac{9}{11} x^{\frac{11}{9}} + C) + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{9}{11} x^{\frac{11}{9}} + C) - \int \frac{2}{x^{4}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{9}{11} x^{\frac{11}{9}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Semplifica.

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Passaggio 8.1.1

$\frac{9}{11}$ e $x^{\frac{11}{9}}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 8.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 8.2.1

Sposta $x^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 8.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 8.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 \int x^{- 4} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

$x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 10.2

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 11

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 \int x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 12

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 13

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 14

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 \int \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Passaggio 15

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (\sin (x) + C) + \int \ln (5) d x$

Passaggio 16

Applica la regola costante.

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (\sin (x) + C) + \ln (5) x + C$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Semplifica.

$\frac{18 x^{\frac{11}{9}}}{11} + \frac{2}{3 x^{3}} + 3 x^{2} + 2 \sin (x) + \ln (5) x + C$

Passaggio 17.2

Riordina i termini.

$\frac{18}{11} x^{\frac{11}{9}} + \frac{2}{3 x^{3}} + 3 x^{2} + 2 \sin (x) + \ln (5) x + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = 2 x^{\frac{2}{9}} - \frac{2}{x^{4}} + 6 x + 2 \cos (x) + \ln (5)$ .

$F (x) =$ $\frac{18}{11} x^{\frac{11}{9}} + \frac{2}{3 x^{3}} + 3 x^{2} + 2 \sin (x) + \ln (5) x + C$