Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 25}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 25}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 25})$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 25$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} - 25) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Passaggio 1.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 25$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 25) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 25))}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Passaggio 1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Passaggio 1.6

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}})$

Passaggio 1.7

$4$ e $\frac{2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} - 25) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{4 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 25) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 25 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{2} x) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{2})) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{2})) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{1 + 2}) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{4 (2 x^{3}) + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.4.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{3} + 4 (2 \cdot (- 25 x)) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.4.1.3

Moltiplica $2$ per $- 25$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{3} + 4 (- 50 x) + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.4.1.4

Moltiplica $- 50$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{3} - 200 x + 4 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{8 x^{3} - 200 x - 8 x^{3}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.4.2

Combina i termini opposti in $8 x^{3} - 200 x - 8 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.4.2.1

Sottrai $8 x^{3}$ da $8 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 200 x + 0}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.4.2.2

Somma $- 200 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 200 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{200 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Passaggio 1.8.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.6.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{200 x}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.8.6.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$f' (x) = - \frac{200 x}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

Passaggio 1.8.6.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 5) (x - 5)$ .

$f' (x) = - \frac{200 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 200$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{200 x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 200 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica ${(x + 5)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x + 5)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{2}) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - 5$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 5$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x ({(x + 5)}^{2} (2 (x - 5) \frac{d}{d x} (x - 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 5)}^{2} (x - 5)) \frac{d}{d x} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) (1 + 0) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) \cdot 1 + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 5)}^{2}))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 5$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 5$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (2 (x + 5) \frac{d}{d x} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 \cdot ({(x - 5)}^{2} (x + 5)) \frac{d}{d x} (x + 5))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} (5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) (1 + 0))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5) \cdot 1)}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 200 \frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.5.3

$- 200$ e $\frac{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{(200) ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Applica la regola del prodotto a ${(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5) + 2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} - x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5)) - x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{200 ({(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}) + 200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Scomponi $200 (x + 5) (x - 5)$ da $200 {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2} + 200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1.1

Scomponi $200 (x + 5) (x - 5)$ da $200 {(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.1.2

Scomponi $200 (x + 5) (x - 5)$ da $200 (- x (2 {(x + 5)}^{2} (x - 5)))$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x + 5))) + 200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.1.3

Scomponi $200 (x + 5) (x - 5)$ da $200 (- x (2 {(x - 5)}^{2} (x + 5)))$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x + 5))) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.1.4

Scomponi $200 (x + 5) (x - 5)$ da $200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5)) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x + 5)))$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - x (2 (x + 5))) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.1.5

Scomponi $200 (x + 5) (x - 5)$ da $200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - x (2 (x + 5))) + 200 (x + 5) (x - 5) (- x (2 (x - 5)))$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - x (2 (x + 5)) - x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - 2 x (x + 5) - x (2 (x - 5)))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) ((x + 5) (x - 5) - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.1

Espandi $(x + 5) (x - 5)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x (x - 5) + 5 (x - 5) - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5) - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.2

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 5$ e $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.2.2

Somma $- 5 x$ e $5 x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.2.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x \cdot x + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 5 \cdot - 5 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.3.2

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x (x + 5) - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 5 - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 5 - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 5 - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.6

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x (x - 5))}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 5)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.8

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.8.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 5)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.8.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 5)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.9

Moltiplica $- 5$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x^{2} + 10 x)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.4

Combina i termini opposti in $x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 10 x - 2 x^{2} + 10 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.4.1

Somma $- 10 x$ e $10 x$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.4.2

Somma $x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 25 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.5

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- x^{2} - 25 - 2 x^{2})}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.6

Sottrai $2 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{({(x + 5)}^{2})}^{2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 5)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2 \cdot 2} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.5.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{4} {({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.9.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.9.5.3

Elimina il fattore comune di $x + 5$ e ${(x + 5)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.3.1

Scomponi $x + 5$ da $200 (x + 5) (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 5) ((200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25))}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.9.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.3.2.1

Scomponi $x + 5$ da ${(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 5) ((200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Passaggio 2.9.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x + 5) ((200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Passaggio 2.9.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(200 (x - 5)) (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.9.5.4

Elimina il fattore comune di $x - 5$ e ${(x - 5)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.4.1

Scomponi $x - 5$ da $200 (x - 5) (- 3 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 5) (200 (- 3 x^{2} - 25))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Passaggio 2.9.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.4.2.1

Scomponi $x - 5$ da ${(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 5) (200 (- 3 x^{2} - 25))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Passaggio 2.9.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x - 5) (200 (- 3 x^{2} - 25))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Passaggio 2.9.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{200 (- 3 x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.9.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (- (3 x^{2}) - 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.9.7

Riscrivi $- 25$ come $- 1 (25)$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.9.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (25)$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (- (3 x^{2} + 25))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.9.9

Riscrivi $- (3 x^{2} + 25)$ come $- 1 (3 x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = - \frac{200 (- 1 (3 x^{2} + 25))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.9.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2.9.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}})$

Passaggio 2.9.12

Moltiplica $\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{200 (3 x^{2} + 25)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$