Calcolo Esempi

$y = 6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ ; $x = 1$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 {(4 x^{2} - 3)}^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$ .

$6 - 12 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 3)}^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 4 x^{2} - 3$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 - 12 (2 u \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x^{2} - 3$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3])$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Passaggio 3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Passaggio 3.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (4 (2 x) + 0))$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x + 0))$

Passaggio 3.8

Somma $8 x$ e $0$ .

$6 - 12 (2 (4 x^{2} - 3) (8 x))$

Passaggio 3.9

Moltiplica $8$ per $2$ .

$6 - 12 (16 (4 x^{2} - 3) x)$

Passaggio 3.10

Moltiplica $16$ per $- 12$ .

$6 - 192 (4 x^{2} - 3) x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 + (- 192 (4 x^{2}) - 192 \cdot - 3) x$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 - 192 (4 x^{2}) x - 192 \cdot - 3 x$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $4$ per $- 192$ .

$6 - 768 x^{2} x - 192 \cdot - 3 x$

Passaggio 4.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 - 768 (x^{1} x^{2}) - 192 \cdot - 3 x$

Passaggio 4.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 - 768 x^{1 + 2} - 192 \cdot - 3 x$

Passaggio 4.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$6 - 768 x^{3} - 192 \cdot - 3 x$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $- 192$ per $- 3$ .

$6 - 768 x^{3} + 576 x$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$- 768 x^{3} + 576 x + 6$

Passaggio 5

Calcola la derivata per $x = 1$ .

$- 768 {(1)}^{3} + 576 (1) + 6$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 768 \cdot 1 + 576 (1) + 6$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 768$ per $1$ .

$- 768 + 576 (1) + 6$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $576$ per $1$ .

$- 768 + 576 + 6$

Passaggio 6.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 6.2.1

Somma $- 768$ e $576$ .

$- 192 + 6$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 192$ e $6$ .

$- 186$