Calcolo Esempi

$12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t) = 0$

Passaggio 1

Fattorizza $12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t)$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $12 e^{- t}$ da $12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $12 e^{- t}$ da $12 e^{- t} \cos (t)$ .

$12 e^{- t} \cos (t) - 12 e^{- t} \sin (t) = 0$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $12 e^{- t}$ da $- 12 e^{- t} \sin (t)$ .

$12 e^{- t} \cos (t) + 12 e^{- t} (- 1 \sin (t)) = 0$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $12 e^{- t}$ da $12 e^{- t} \cos (t) + 12 e^{- t} (- 1 \sin (t))$ .

$12 e^{- t} (\cos (t) - 1 \sin (t)) = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi $- 1 \sin (t)$ come $- \sin (t)$ .

$12 e^{- t} (\cos (t) - \sin (t)) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- t} = 0$

$\cos (t) - \sin (t) = 0$

Passaggio 3

Imposta $e^{- t}$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $e^{- t}$ uguale a $0$ .

$e^{- t} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $e^{- t} = 0$ per $t$ .

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Passaggio 3.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- t}) = \ln (0)$

Passaggio 3.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- t} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Imposta $\cos (t) - \sin (t)$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\cos (t) - \sin (t)$ uguale a $0$ .

$\cos (t) - \sin (t) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\cos (t) - \sin (t) = 0$ per $t$ .

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Passaggio 4.2.1

Dividi per $\cos (t)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{- \sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{- \sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{- \sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Passaggio 4.2.3

Frazioni separate.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (t)}{\cos (t)} = \frac{0}{\cos (t)}$

Passaggio 4.2.4

Converti da $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ a $\tan (t)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (t) = \frac{0}{\cos (t)}$

Passaggio 4.2.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$1 - \tan (t) = \frac{0}{\cos (t)}$

Passaggio 4.2.6

Frazioni separate.

$1 - \tan (t) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$

Passaggio 4.2.7

Converti da $\frac{1}{\cos (t)}$ a $\sec (t)$ .

$1 - \tan (t) = \frac{0}{1} \cdot \sec (t)$

Passaggio 4.2.8

Dividi $0$ per $1$ .

$1 - \tan (t) = 0 \sec (t)$

Passaggio 4.2.9

Moltiplica $0$ per $\sec (t)$ .

$1 - \tan (t) = 0$

Passaggio 4.2.10

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (t) = - 1$

Passaggio 4.2.11

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (t) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.11.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (t) = - 1$ .

$\frac{- \tan (t)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.11.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.11.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (t)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.11.2.2

Dividi $\tan (t)$ per $1$ .

$\tan (t) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.11.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\tan (t) = 1$

Passaggio 4.2.12

Trova il valore dell'incognita $t$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$t = \arctan (1)$

Passaggio 4.2.13

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.13.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$t = \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.14

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$t = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.15

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 4.2.15.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$t = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.15.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.15.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$t = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.15.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 4.2.15.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.15.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$t = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 4.2.15.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$t = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 4.2.16

Trova il periodo di $\tan (t)$ .

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Passaggio 4.2.16.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.2.16.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.16.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.2.16.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2.17

Il periodo della funzione $\tan (t)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$t = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 e^{- t} (\cos (t) - \sin (t)) = 0$ vera.

$t = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Consolida le risposte.

$t = \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$