Calcolo Esempi

$f'' (x) = 32 x^{3} - 15 x^{2} + 8 x$

Passaggio 1

La funzione $f' (x)$ può essere trovata calcolando l'integrale indefinito della derivata $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 32 x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Passaggio 3

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , sposta $32$ fuori dall'integrale.

$32 \int x^{3} d x + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 15 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Passaggio 5

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 15$ fuori dall'integrale.

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 8 x d x$

Passaggio 7

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 \int x d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$32 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 9.2.2

$8$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{2} + C$

Passaggio 9.2.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Scomponi $2$ da $8 x^{2}$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2} + C$

Passaggio 9.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 (1)} + C$

Passaggio 9.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Passaggio 9.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 x^{4} - 5 x^{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + C$

Passaggio 9.2.3.2.4

Dividi $4 x^{2}$ per $1$ .

$8 x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Passaggio 10

La funzione $f'$ se derivata dall'integrale della derivata della funzione. Questo è valido per il teorema fondamentale del calcolo.

$f' (x) = 8 x^{4} - 5 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Passaggio 11

La funzione $f (x)$ può essere trovata calcolando l'integrale indefinito della derivata $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Passaggio 12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 8 x^{4} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Passaggio 13

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$8 \int x^{4} d x + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Passaggio 14

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 5 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Passaggio 15

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Passaggio 16

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Passaggio 17

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x + \int C d x$

Passaggio 18

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

Passaggio 19

Applica la regola costante.

$8 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Passaggio 20

Semplifica.

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Passaggio 20.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Passaggio 20.1.2

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Passaggio 20.1.3

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + C x + C$

Passaggio 20.2

Semplifica.

$\frac{8 x^{5}}{5} - \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + C x + C$

Passaggio 21

Riordina i termini.

$\frac{8}{5} x^{5} - \frac{5}{4} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

Passaggio 22

La funzione $f$ se derivata dall'integrale della derivata della funzione. Questo è valido per il teorema fondamentale del calcolo.

$f (x) = \frac{8}{5} x^{5} - \frac{5}{4} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$