Calcolo Esempi

$y = \sqrt{25 - x^{2}}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 5$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}$ come $(5 + x) (5 - x)$ .

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Passaggio 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ come ${((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = {((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$V = {((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$V = (5 + x) (5 - x)$

Passaggio 2.1.5

Semplifica.

$V = (5 + x) (5 - x)$

Passaggio 2.2

Espandi $(5 + x) (5 - x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = 5 (5 - x) + x (5 - x)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x)$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$V = 25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x)$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$V = 25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x)$

Passaggio 2.3.1.3

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$V = 25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x)$

Passaggio 2.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = 25 - 5 x + 5 x - x \cdot x$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$V = 25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x)$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$V = 25 - 5 x + 5 x - x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 5 x$ e $5 x$ .

$V = 25 + 0 - x^{2}$

Passaggio 2.3.3

Somma $25$ e $0$ .

$V = 25 - x^{2}$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{0}^{5} 25 d x + \int_{0}^{5} - x^{2} d x)$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$V = π (25 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} - x^{2} d x)$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$V = π (25 x]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} x^{2} d x)$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (25 x]_{0}^{5} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}))$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (25 x]_{0}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

Passaggio 7.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Calcola $25 x$ per $5$ e per $0$ .

$V = π ((25 \cdot 5) - 25 \cdot 0 - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

Passaggio 7.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $5$ e per $0$ .

$V = π (25 \cdot 5 - 25 \cdot 0 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 7.2.3

Semplifica.

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Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $25$ per $5$ .

$V = π (125 - 25 \cdot 0 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $- 25$ per $0$ .

$V = π (125 + 0 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 7.2.3.3

Somma $125$ e $0$ .

$V = π (125 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 7.2.3.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$V = π (125 - (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Passaggio 7.2.3.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (125 - (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}))$

Passaggio 7.2.3.6

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

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Passaggio 7.2.3.6.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$V = π (125 - (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Passaggio 7.2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.3.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (125 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 7.2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (125 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Passaggio 7.2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (125 - (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}))$

Passaggio 7.2.3.6.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (125 - (\frac{125}{3} - 0))$

Passaggio 7.2.3.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (125 - (\frac{125}{3} + 0))$

Passaggio 7.2.3.8

Somma $\frac{125}{3}$ e $0$ .

$V = π (125 - \frac{125}{3})$

Passaggio 7.2.3.9

Per scrivere $125$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (125 \cdot \frac{3}{3} - \frac{125}{3})$

Passaggio 7.2.3.10

$125$ e $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{125 \cdot 3}{3} - \frac{125}{3})$

Passaggio 7.2.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{125 \cdot 3 - 125}{3})$

Passaggio 7.2.3.12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.2.3.12.1

Moltiplica $125$ per $3$ .

$V = π (\frac{375 - 125}{3})$

Passaggio 7.2.3.12.2

Sottrai $125$ da $375$ .

$V = π (\frac{250}{3})$

Passaggio 7.2.3.13

$π$ e $\frac{250}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 250}{3}$

Passaggio 7.2.3.14

Sposta $250$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{250 π}{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{250 π}{3}$

Forma decimale:

$V = 261.79938779 \dots$

Passaggio 9