Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x + 7$ ; $[1, 5]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 x + 7 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $2 x + 7 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 7$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 7$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 7$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7}{2}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- \frac{7}{2}$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(- \frac{7}{2}, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{1}^{5} 2 x + 7 d x - \int_{1}^{5} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $1$ e $5$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{5} 2 x + 7 - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $2 x + 7$ .

$\int_{1}^{5} 2 x + 7 d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{5} 2 x d x + \int_{1}^{5} 7 d x$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} 7 d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 d x$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 d x$

Passaggio 3.7

Applica la regola costante.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + 7 x]_{1}^{5}$

Passaggio 3.8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $5$ e per $1$ .

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 7 x]_{1}^{5}$

Passaggio 3.8.2

Calcola $7 x$ per $5$ e per $1$ .

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3

Semplifica.

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Passaggio 3.8.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{25}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{25 - 1}{2} + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3.4

Sottrai $1$ da $25$ .

$2 (\frac{24}{2}) + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3.5

Elimina il fattore comune di $24$ e $2$ .

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Passaggio 3.8.3.5.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$2 \frac{2 \cdot 12}{2} + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.8.3.5.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 12}{2 (1)} + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1} + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{12}{1}) + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3.5.2.4

Dividi $12$ per $1$ .

$2 \cdot 12 + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3.6

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 + 7 \cdot 5 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3.7

Moltiplica $7$ per $5$ .

$24 + 35 - 7 \cdot 1$

Passaggio 3.8.3.8

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$24 + 35 - 7$

Passaggio 3.8.3.9

Sottrai $7$ da $35$ .

$24 + 28$

Passaggio 3.8.3.10

Somma $24$ e $28$ .

$52$

Passaggio 4